§ 50. Отношение площадей подобных многоугольников

Определения и обозначения

Подобные многоугольники — это многоугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют углы и стороны, занимающие одинаковое положение в фигурах. Такое определение позволяет установить, что фигуры имеют одинаковую форму, даже если их размеры различаются.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон двух фигур, например k = a₁/a₂. Он показывает масштаб перехода от второго многоугольника к первому: если k больше 1, первый больше по линейным размерам, если меньше 1 — меньше. Выбрав порядок фигур, придерживайтесь его во всех отношениях.

Площадь многоугольника обозначают буквой S; площадь измеряет величину части плоскости, которую занимает фигура. Например, S₁ и S₂ — площади первого и второго многоугольников, обычно выраженные в квадратных единицах. Это обозначение нужно, чтобы кратко записывать и сравнивать площади.

Отношение площадей подобных многоугольников — частное их площадей, например S₁/S₂. Оно связано с коэффициентом подобия: при k = a₁/a₂ отношение площадей равно k². Так можно сравнить размеры фигур по площади, даже если известны только длины соответствующих сторон.

Как это устроено

Представим, что один многоугольник увеличили или уменьшили, не меняя его форму. При масштабировании все соответствующие стороны меняются одинаково: если одна сторона стала в k раз длиннее, то и каждая другая сторона увеличилась в k раз. Углы при этом сохраняются, потому что изменение масштаба растягивает длины, но не меняет направление сторон друг относительно друга. Именно поэтому исходная и полученная фигуры подобны.

Площадь зависит не от одной длины, а от двух линейных размеров. Например, площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, и обе величины при подобном увеличении умножаются на k. Поэтому новая площадь равна (k · длина) · (k · ширина), то есть прежняя площадь умножается на k². Для других многоугольников результат тот же: при подобном масштабировании каждый линейный размер получает множитель k, а площадь — два таких множителя.

Отсюда следует теорема: отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если k = a₁/a₂, где a₁ и a₂ — длины соответствующих сторон, то S₁/S₂ = k² = (a₁/a₂)². Квадрат появляется потому, что площадь — величина двумерная: она меняется вместе с двумя направлениями, а не только с одной стороной.

Порядок фигур в отношениях должен совпадать. Если k = a₁/a₂, то к нему соответствует S₁/S₂ = k²; если поменять порядок сторон и взять a₂/a₁, то коэффициент станет обратным, а отношение площадей — S₂/S₁. Например, для коэффициента 2 в одном порядке отношение площадей равно 4, а для обратного коэффициента ½ отношение площадей равно ¼. Поэтому перед вычислениями полезно подписать, какой фигуре соответствует каждый индекс.

Теорема работает в обе стороны. Если известен коэффициент подобия, возведите его в квадрат, чтобы найти отношение площадей; если известно отношение площадей, извлеките квадратный корень, чтобы получить отношение соответствующих сторон. Например, при отношении площадей 25:36 стороны относятся как 5:6, потому что √(25/36) = 5/6. Корень берут из положительного отношения площадей, так как длины сторон положительны.

Связь коэффициента подобия и площадей

Сначала определите, какие данные известны: отношение сторон, коэффициент подобия или отношение площадей. Затем выберите нужную формулу и проверьте, что первая фигура стоит в числителе во всех отношениях. Если переходите от площадей к сторонам, извлекайте квадратный корень.

Разбор задач

Задача 1. Стороны двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Найдите отношение их площадей. Здесь отношение дано в порядке «первый многоугольник ко второму», поэтому в таком же порядке запишем площади. Для перехода от сторон к площадям нужно возвести отношение в квадрат.

1. Запишем коэффициент подобия: k = 3/5. Он относится к первому многоугольнику относительно второго.
2. По теореме отношение площадей равно квадрату коэффициента: S₁/S₂ = k² = (3/5)² = 9/25. Площадь первого многоугольника меньше, что согласуется с тем, что его соответствующие стороны короче.
3. Ответ: 9:25. Если бы требовалось сравнить площади в обратном порядке, получилось бы 25:9.

Задача 2. Площади подобных многоугольников равны 16 см² и 49 см². Найдите отношение соответствующих сторон. Порядок площадей — от первой фигуры ко второй, поэтому стороны сравниваем в таком же порядке. Чтобы перейти от отношения площадей к отношению длин, применим квадратный корень.

1. Составим отношение площадей: S₁/S₂ = 16/49. Единицы измерения сокращаются, поскольку обе площади выражены в см².
2. Найдём отношение сторон: a₁/a₂ = √(S₁/S₂) = √(16/49) = 4/7. Корень извлекаем отдельно из числителя и знаменателя.
3. Ответ: 4:7. Первая фигура имеет меньшую площадь, поэтому отношение её соответствующих сторон тоже меньше единицы.

Задача 3. Подобные фигуры имеют коэффициент подобия 2: одна сторона меньшего многоугольника равна 6 см, а его площадь — 27 см². Найдите соответствующую сторону большего многоугольника и его площадь. Коэффициент 2 здесь означает переход от меньшей фигуры к большей. Для длины используем множитель 2, а для площади — квадрат этого множителя.

1. Найдём соответствующую сторону большего многоугольника: 6 · 2 = 12 см. Длина увеличивается в k раз, а не в k² раз.
2. Найдём площадь большей фигуры: 27 · 2² = 27 · 4 = 108 см². Площади относятся как 4:1, если сравнивать большую фигуру с меньшей.
3. Ответ: соответствующая сторона равна 12 см, площадь большего многоугольника — 108 см². Оба результата больше исходных, поскольку коэффициент увеличения больше единицы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что площади относятся так же, как стороны. Это происходит, если забыть, что площадь зависит от двух линейных размеров, а не от одного. Проверка: при коэффициенте 3 отношение площадей должно быть 9, а не 3.

Ошибка: не возводить коэффициент подобия в квадрат. Чаще всего это случается, когда формулу переносят на площади по аналогии с отношением длин. Проверяйте запись: между отношением площадей и коэффициентом обязательно стоит квадрат, S₁/S₂ = k².

Ошибка: перепутать порядок фигур в отношениях сторон и площадей. Если для сторон взято отношение первой фигуры ко второй, то площади тоже нужно записывать в таком порядке; иначе результат будет обратным. Проверка: при k больше 1 первая фигура должна иметь и большую площадь, а при обратном коэффициенте отношение площадей должно быть меньше 1.

Ошибка: извлекать квадратный корень при переходе от сторон к площадям. Корень нужен в обратной ситуации — когда по отношению площадей находят отношение сторон. Проверьте, что именно дано: для сторон возводят в квадрат, а для перехода от площадей к сторонам извлекают корень.

Связь с другими темами

Для работы с отношением площадей нужно знать определение подобных многоугольников и уметь составлять пропорцию соответствующих сторон. Также пригодятся свойства площадей и действия с дробями, квадратами и квадратными корнями. Если эти темы знакомы, достаточно правильно выбрать порядок фигур и применить связь S₁/S₂ = k².

Теорема применяется в задачах на площади подобных треугольников и многоугольников. Она помогает находить площадь одной фигуры, когда известны площадь другой и коэффициент подобия, а также вычислять размеры фигур по их площадям. Поэтому важно отличать коэффициент для длин от отношения площадей: они связаны квадратом.

Что запомнить

• У подобных многоугольников соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных многоугольников пропорциональны.
• Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон в заданном порядке.
• Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• При переходе к обратному порядку фигур отношения сторон и площадей обращаются.
• По отношению площадей коэффициент подобия находят извлечением квадратного корня.