"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура, а объём — сколько пространства занимает тело. Эти величины помогают сравнивать фигуры и решать практические задачи: например, рассчитывать площадь поверхности или вместимость предмета. Для вычислений используют свойства прямоугольника, треугольника и круга, а также формулы для призмы и цилиндра. Главное — выбрать подходящую формулу, связать основание с соответствующей высотой и записать ответ в верных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — численная характеристика части плоскости, которую занимает фигура. Её измеряют, сравнивая с квадратом, сторона которого принята за единицу длины: такой единичный квадрат имеет площадь 1 квадратную единицу. Поэтому длину записывают, например, в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, см².
Площадь поверхности тела — площадь всей его границы, то есть всех поверхностей, которыми тело ограничено. Боковая поверхность не включает оснований, а полная состоит из боковой поверхности и всех оснований. Такое различие помогает понять, какие части тела нужно учитывать в задаче, например при расчёте материала для обёртки.
Объём тела — численная характеристика части пространства, занимаемой телом. Его измеряют кубами: если ребро единичного куба равно одной единице длины, его объём равен одной кубической единице. Например, при измерении в сантиметрах объём выражают в см³.
Высота фигуры или тела — перпендикулярное расстояние, используемое при вычислении площади или объёма. В треугольнике высоту проводят из вершины к выбранному основанию или его продолжению, а у призмы и цилиндра измеряют расстояние между плоскостями оснований. Высота нужна именно та, которая перпендикулярна соответствующему основанию.
Площади многоугольников часто находят, сводя фигуру к более простой, например прямоугольнику. Для этого многоугольник разбивают на части, площади которых умеют вычислять, а затем складывают результаты. Можно также достроить фигуру до прямоугольника и вычесть площадь лишних частей: площадь при разбиении и сложении частей сохраняется.
Формулу площади треугольника можно понять, если взять два одинаковых треугольника и сложить их так, чтобы получился параллелограмм. У него основание и высота совпадают с выбранными основанием и высотой треугольника, поэтому площадь параллелограмма равна ah. Один треугольник занимает половину этого параллелограмма, значит, S = ah/2.
Площадь круга зависит от его радиуса: при увеличении радиуса меняется и площадь всей занимаемой кругом области. Её вычисляют по формуле S = πr², где r — радиус, а π — число, примерно равное 3,14. Квадрат радиуса показывает, что при увеличении радиуса в несколько раз площадь возрастает во столько же раз, возведённое в квадрат.
Призму можно мысленно разделить на тонкие слои, параллельные её основаниям. В прямой призме каждый такой слой имеет ту же форму и площадь, что и основание, поэтому общий объём получается умножением площади основания на высоту. Так возникает формула V = Sоснh; высота здесь — расстояние между основаниями.
У цилиндра тоже можно выделить слои одинаковой площади: каждый параллелен круглому основанию. Площадь одного основания равна πr², а слои вместе занимают высоту h, поэтому V = πr²h. В вычислениях единицы длины должны совпадать: если радиус задан в сантиметрах, высоту тоже переводят в сантиметры, и тогда объём получится в см³.
| Фигура или тело | Площадь основания или фигуры | Боковая поверхность | Полная поверхность | Объём |
|---|---|---|---|---|
| Прямоугольник | ab | — | — | — |
| Треугольник | ah/2 | — | — | — |
| Круг | πr² | — | — | — |
| Призма | Sосн | Ph для прямой призмы | Ph + 2Sосн для прямой призмы | Sоснh |
| Цилиндр | πr² | 2πrh | 2πrh + 2πr² | πr²h |
В таблице a и b — стороны прямоугольника, h — соответствующая высота, r — радиус круга, P — периметр основания призмы. Формулы поверхности призмы в таблице относятся к прямой призме. Сначала выберите строку и нужную величину, затем проверьте, что все используемые длины выражены в одинаковых единицах.
Задача 1. Найдите площадь треугольника с основанием 12 см и высотой, проведённой к нему, 7 см. Высота соответствует данному основанию, поэтому можно применить формулу S = ah/2. Результат нужно записать в квадратных сантиметрах.
Ответ: 42 см².
Задача 2. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, высота призмы равна 10 см. Чтобы найти объём, сначала найдём площадь основания, а затем умножим её на высоту призмы. Так как все длины заданы в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах.
Ответ: 240 см³.
Задача 3. Радиус цилиндра равен 3 см, высота — 8 см. Требуется отдельно найти объём и площадь полной поверхности, поэтому применим две разные формулы. Полная поверхность включает круглые основания и боковую часть.
Ответ: объём — 72π см³, площадь полной поверхности — 66π см².
К формуле площади треугольника подставляют высоту, проведённую не к выбранному основанию. Так бывает, когда высота кажется подходящей по длине, но не перпендикулярна нужной стороне; тогда произведение не даёт площадь. Проверьте, к какой стороне проведена высота и образует ли она с ней прямой угол.
Площадь иногда записывают в сантиметрах, а объём — в квадратных сантиметрах. Ошибка возникает из-за смешения единиц длины, площади и объёма; результат вычислений зависит от того, что именно измеряется. Сверьте размерность: для площади нужны квадратные, для объёма — кубические единицы.
В формулах с r могут вместо радиуса подставить диаметр, который вдвое больше. Диаметр легко перепутать с радиусом, если на рисунке указана длина всей окружности поперёк центра; перед подстановкой вспомните, что радиус идёт от центра до окружности. Если дан диаметр d, сначала найдите r = d/2.
При вычислении полной поверхности тела иногда учитывают только боковую часть. Это происходит, когда забывают, что основания тоже входят в границу тела; например, у цилиндра нужно добавить площади двух кругов. Для проверки составьте перечень всех частей поверхности и убедитесь, что ни одно основание не пропущено.
Для работы с площадями и объёмами нужны свойства прямоугольника, треугольника и круга, а также понимание перпендикуляра, радиуса и основания фигуры. Эти понятия позволяют выбрать нужные элементы и подставить их в формулу. Если основания и высоты распознаются верно, вычисление становится прямым и понятным.
Формулы пригодятся при решении задач на призмы и цилиндры, а также при нахождении неизвестных размеров по известным площади или объёму. Они встречаются и в практических расчётах: можно определить, сколько материала потребуется для поверхности или какую вместимость имеет ёмкость. В таких задачах особенно важны точные единицы измерения.
Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту?
Если взять такой же треугольник и приложить его к первому, получится параллелограмм с теми же основанием и высотой. Его площадь равна произведению основания на высоту, поэтому площадь одного треугольника вдвое меньше.
Можно ли использовать любую высоту треугольника в формуле площади?
Высоту выбирают к тому основанию, которое подставляют в формулу. Она должна быть перпендикулярна этому основанию или его продолжению.
В чём разница между боковой и полной поверхностью тела?
Боковая поверхность состоит из боковых граней или частей поверхности, соединяющих основания. Полная поверхность включает боковую поверхность и все основания тела.
Почему объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту?
Цилиндр можно представить как множество слоёв одинаковой площади, равной площади круглого основания. Их общая высота равна высоте цилиндра, поэтому объём равен площади основания, умноженной на высоту.
Как выбрать единицы измерения в ответе?
Площадь записывают в квадратных единицах, например см², а объём — в кубических, например см³. Перед вычислением длины нужно привести к одинаковым единицам.
§ 42. О вычислении площадей и объемов геометрических фигур
