"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Правильная призма — прямая призма, в основании которой находится правильный многоугольник. Чтобы вычислить её площадь поверхности и объём, достаточно знать высоту призмы и уметь находить периметр и площадь основания. Боковая поверхность равна произведению периметра основания на высоту, полная включает ещё два основания, а объём равен площади основания, умноженной на высоту. Эти формулы помогают решать задачи о призмах с разными основаниями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, то есть многоугольник с равными сторонами и углами. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Это определение помогает сразу узнать форму боковых граней и понять, какие формулы можно применить.
Боковая поверхность призмы — совокупность всех её боковых граней, то есть граней, соединяющих два основания. Её площадь обозначают Sбок. Эта величина нужна, когда требуется измерить площадь только стенок призмы, не включая основания.
Полная поверхность призмы — боковая поверхность вместе с двумя основаниями. Её площадь обозначают Sполн. Это обозначение используют, если нужно учесть площадь всего материала, покрывающего призму снаружи.
Объём призмы — величина, показывающая, сколько пространства занимает тело; его обозначают V. Объём нужен, например, чтобы оценить вместимость предмета. Для его вычисления учитывают площадь основания и высоту призмы.
В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основанию. Поэтому каждая боковая грань имеет прямые углы: это прямоугольник, одна сторона которого совпадает со стороной основания, а другая — с высотой призмы. Если разрезать призму по боковому ребру и развернуть её боковые грани, получится ряд прямоугольников. Такая развёртка наглядно превращает сложную поверхность в сумму площадей знакомых фигур.
У всех прямоугольников в развёртке одна и та же высота h, а их ширины равны сторонам многоугольника основания. Сумма площадей граней равна h, умноженной на сумму этих ширин. Но сумма сторон основания — это его периметр Pосн, поэтому Sбок = Pосн · h. Формула работает для любого многоугольника в основании, если призма прямая; правильность основания нужна для того, чтобы призма называлась правильной.
Полная поверхность включает не только боковые грани, но и верхнее с нижним основания. Основания призмы равны, поэтому площадь каждого из них составляет Sосн. Складывая площади всех частей поверхности, получаем Sполн = Sбок + Sосн + Sосн = Sбок + 2Sосн. Если найти только площадь боковых граней или прибавить одно основание, часть поверхности останется неучтённой.
Представим призму как стопку одинаковых тонких слоёв, каждый из которых повторяет форму основания. Если увеличить высоту, слоёв станет больше; если увеличить площадь основания, каждый слой станет вместительнее. Поэтому объём равен произведению площади одного основания на высоту: V = Sосн · h. Единицы тоже следуют из вычисления: площадь основания измеряется в квадратных единицах, а высота — в линейных, значит, объём получается в кубических единицах.
Площадь основания находят по формуле для конкретного правильного многоугольника, а не по общей формуле боковой поверхности. Для квадрата используют Sосн = a², для равностороннего треугольника — Sосн = a²√3 / 4. Правильный шестиугольник удобно разделить на шесть равносторонних треугольников, а затем сложить их площади. Сначала определите вид основания и его известные размеры, затем выберите подходящую формулу и подставьте найденную площадь в формулу полной поверхности или объёма.
| Величина | Формула | Что нужно знать | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Площадь боковой поверхности | Sбок = Pосн · h | Периметр основания и высоту | Квадратные: см², м² |
| Площадь полной поверхности | Sполн = Sбок + 2Sосн | Площадь боковой поверхности и площадь основания | Квадратные: см², м² |
| Объём | V = Sосн · h | Площадь основания и высоту | Кубические: см³, м³ |
Пользуйтесь таблицей, начиная с того, что требуется найти: так проще выбрать формулу и понять, какие данные ещё нужны. Если неизвестна площадь основания, сначала вычислите её по форме многоугольника, а для боковой поверхности найдите периметр. Проверяйте единицы: площади должны быть квадратными, а объём — кубическим.
Основание правильной призмы — квадрат со стороной 3 см, высота призмы равна 5 см. Найти площадь боковой поверхности. Здесь не требуется площадь квадрата: боковые грани зависят от длины всех сторон основания и высоты призмы.
Ответ: 60 см². Единицы квадратные, потому что искали площадь поверхности.
Основание правильной треугольной призмы — равносторонний треугольник со стороной 6 см, высота призмы равна 8 см. Найти площадь полной поверхности. Сначала отдельно найдём боковую площадь и площадь одного основания, а затем учтём оба основания.
Ответ: 144 + 18√3 см², или примерно 175,2 см². Приближённое значение можно получить, заменив √3 числом около 1,73.
Основание правильной шестиугольной призмы имеет сторону 4 см, высота призмы равна 10 см. Найти объём и площадь полной поверхности. Правильный шестиугольник удобно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, у каждого сторона 4 см.
Ответ: V = 240√3 см³, Sполн = 240 + 48√3 см². У объёма кубические единицы, у площади поверхности — квадратные.
Высоту призмы иногда принимают за боковое ребро без проверки. У правильной призмы это допустимо, потому что она прямая, а её рёбра перпендикулярны основаниям; у наклонной призмы ребро может быть длиннее высоты. Проверьте определение призмы и наличие прямого угла между боковым ребром и основанием. Если призма не прямая, ищите высоту отдельно.
В формуле боковой поверхности вместо периметра основания иногда подставляют площадь основания. Так происходит, когда смешивают формулы площади и объёма или забывают, что каждая боковая грань связана с одной стороной основания. Сверьте размерности: периметр умножают на высоту, чтобы получить квадратные единицы. Перед вычислением выпишите Pосн и только затем применяйте Sбок = Pосн · h.
При вычислении полной поверхности могут прибавить только одно основание, поскольку в задаче часто сначала находят площадь одного многоугольника. Но у призмы два равных основания, и оба входят в наружную поверхность. Проверьте запись формулы: в ней должно быть 2Sосн. Полезно мысленно перечислить поверхности: боковые грани, верхнее основание и нижнее основание.
Ещё одна ошибка — записывать площадь в кубических единицах или объём в квадратных. Причина обычно в том, что обозначения см² и см³ воспринимают как формальность, а не проверяют смысл вычисления. Площадь получается при умножении двух длин, объём — при умножении площади на длину. Поэтому в ответе для поверхности указывайте квадратные, а для объёма — кубические единицы.
Для вычислений нужны знакомые формулы площадей многоугольников, понятия периметра и высоты, а также умение находить площадь прямоугольника. Именно из этих знаний выводятся формула боковой поверхности и способы расчёта основания. Если основание составное, его площадь можно получить, разделив многоугольник на более простые фигуры.
Формулы площади поверхности и объёма пригодятся при решении задач о других призмах и при изучении пространственных тел. Общая идея сохраняется: поверхность складывают из площадей граней, а объём связывают с площадью основания и высотой. Поэтому освоенный способ помогает разбирать более сложные тела и практические задачи на вместимость или расход материала.
Чем правильная призма отличается от прямой призмы?
У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а боковые грани являются прямоугольниками. Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Значит, у неё должны выполняться оба условия.
Почему площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту?
Боковая поверхность состоит из прямоугольников, ширины которых равны сторонам основания, а высота каждой равна высоте призмы. При развёртке их ширины складываются в периметр основания. Поэтому сумма площадей прямоугольников равна Pосн · h.
Почему в формуле полной поверхности учитывают два основания?
У призмы есть два равных основания: нижнее и верхнее. Полная поверхность включает оба основания и все боковые грани, поэтому к площади боковой поверхности прибавляют 2Sосн.
Как найти площадь основания, если оно является правильным многоугольником?
Выберите формулу, соответствующую виду многоугольника: например, для квадрата используйте квадрат стороны, а для равностороннего треугольника — формулу a²√3 / 4. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников и сложить их площади. Если дана другая информация, сначала выразите через неё сторону или необходимые элементы.
Можно ли использовать длину бокового ребра вместо высоты призмы?
У правильной призмы можно: она является прямой, поэтому боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте. Для наклонной призмы боковое ребро не является высотой, и подставлять его вместо h нельзя. Сначала проверьте, что призма прямая.
§ 43. Вычисление площади поверхности и объема правильной призмы
