§ 44. Вычисление площади поверхности и объема цилиндра

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами, расположенными в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью. Если разрезать боковую поверхность вдоль и развернуть её, получится прямоугольник. Это представление помогает увидеть, откуда берётся формула её площади.

Радиус основания обозначают r: это расстояние от центра круга-основания до любой его точки. Высоту цилиндра обозначают h; она равна расстоянию между плоскостями оснований. Эти две величины нужны для расчёта площади поверхности и объёма, поэтому перед подстановкой важно определить их по условию.

Площадь боковой поверхности Sбок описывает только внешнюю боковую часть цилиндра, без кругов-оснований. Её находят в квадратных единицах, например в см² или м². Эта величина помогает рассчитать материал для боковой стенки предмета, например трубы или банки.

Полная площадь поверхности Sполн — площадь всей внешней поверхности цилиндра, включая боковую часть и оба основания. Объём V показывает, сколько пространства находится внутри тела, и не является площадью поверхности. Поэтому для полной площади и объёма используют разные формулы и разные единицы измерения.

Как это устроено

Представим боковую поверхность цилиндра разрезанной по прямой, параллельной его высоте, и расправленной на плоскости. Её края становятся противоположными сторонами прямоугольника, а высота прямоугольника совпадает с h. Длина другой стороны равна окружности основания, то есть 2πr, потому что при разворачивании весь край основания распрямляется. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому Sбок = 2πr · h = 2πrh.

Полная поверхность включает все части оболочки цилиндра: боковую стенку и два круглых основания. Площадь одного основания равна πr², а два одинаковых круга имеют площадь 2πr². Складывая её с 2πrh, получаем Sполн = 2πrh + 2πr². Вынесение общего множителя 2πr даёт равносильную запись Sполн = 2πr(h + r), удобную для вычислений.

Чтобы понять формулу объёма, сравним цилиндр с телом, у которого одинаковые поперечные сечения на всём протяжении высоты. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, всегда представляет собой равный им круг, поэтому его площадь постоянна и равна πr². По принципу равных поперечных сечений объём такого тела равен площади основания, умноженной на высоту. Значит, V = πr²h.

Размерность помогает проверить, какой результат получился. В формулах площади перемножаются два линейных размера: например, r и h или r и r, поэтому результат выражается в квадратных единицах. В формуле объёма перемножаются три линейных размера — r, r и h, значит, нужны кубические единицы. Если в ответе площадь записана в см³, а объём в см², стоит перепроверить вычисление и обозначение величины.

Все формулы в этом разборе записаны через радиус, а в условии может быть указан диаметр d. Поскольку радиус составляет половину диаметра, перед вычислением нужно найти r = d/2. Размеры также следует привести к одинаковым единицам: например, нельзя напрямую подставлять радиус в сантиметрах и высоту в метрах. Округлять результат лучше в конце, сохраняя требуемую условием точность.

Формулы площади поверхности и объёма цилиндра

Сначала определите, какую именно величину требуется найти: боковую площадь, полную площадь или объём. Затем проверьте, известны ли r и h, и при необходимости найдите радиус по диаметру. Выберите соответствующую строку таблицы, подставьте данные в одинаковых единицах и запишите результат с правильной размерностью.

Разбор задач

Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Требуется учесть только боковую часть, поэтому формула полной поверхности здесь не подходит. Подставим данные в формулу Sбок = 2πrh.

1. Записываем формулу: Sбок = 2πrh.
2. Подставляем r = 3 см и h = 5 см: Sбок = 2π · 3 · 5 = 30π.
3. Оставляем точное значение с π; при необходимости можно использовать π ≈ 3,14.

Ответ: 30π см², или приблизительно 94,2 см². Единица квадратная, потому что найдена площадь. Если вычисление ведётся с приближённым значением π, знак приближения нужно сохранить и в ответе.

Задача 2. Диаметр основания цилиндра равен 8 см, высота — 6 см. Найдите полную площадь поверхности. Формула полной площади требует радиус, поэтому сначала преобразуем данное значение диаметра. Затем сложим площадь боковой части и площади двух оснований.

1. Находим радиус: r = d/2 = 8/2 = 4 см.
2. Используем Sполн = 2πr(h + r): Sполн = 2π · 4 · (6 + 4).
3. Выполняем вычисления: Sполн = 80π см².

Ответ: 80π см², или приблизительно 251,2 см². В формуле уже учтены оба основания, поэтому отдельно прибавлять их ещё раз не нужно. Проверка по частям даёт тот же результат: 48π + 32π = 80π см².

Задача 3. Объём цилиндра равен 250π см³, радиус основания — 5 см. Найдите высоту и полную площадь поверхности. Сначала по объёму определим высоту, так как она входит в формулу V = πr²h. Затем подставим найденную высоту в формулу полной площади.

1. Выражаем высоту: h = V/(πr²).
2. Подставляем значения: h = 250π/(π · 5²) = 250π/25π = 10 см.
3. Вычисляем полную площадь: Sполн = 2π · 5 · (10 + 5) = 150π см².

Ответ: высота цилиндра равна 10 см, полная площадь поверхности — 150π см². Множитель π сокращается при нахождении высоты, потому что он есть и в объёме, и в площади основания. В конечном результате площадь указана в квадратных сантиметрах.

Типичные ошибки

Вместо радиуса подставляют диаметр. Это происходит потому, что в условии часто первым указан именно диаметр, но формулы записаны через r. Перед вычислением проверьте обозначения и разделите диаметр пополам: r = d/2. Например, при диаметре 8 см в формулу нужно подставить 4 см.

В полной площади учитывают только одно основание. Так можно ошибиться, если запомнить, что у цилиндра есть круг-основание, и не учесть второй такой же круг. Проверьте состав поверхности: должны быть боковая часть и два основания, то есть Sполн = 2πrh + 2πr². Слагаемое для оснований содержит множитель 2.

Путают площадь боковой поверхности с полной площадью. В первом случае основания не входят в результат, а во втором учитываются оба круга; ошибка часто возникает из-за похожих обозначений. Сверьте, что просит задача, и проверьте состав формулы: у Sбок только 2πrh, у Sполн есть ещё 2πr². Удобно представить поверхность цилиндра: стенка и две крышки.

Записывают площадь в кубических единицах или объём — в квадратных. Путаница появляется потому, что в обоих случаях перемножаются числа с единицами длины. Посчитайте множители длины: у площади их два, у объёма три. Поэтому для площади используют, например, см², а для объёма — см³.

Связь с другими темами

Для вычислений с цилиндром нужны формулы длины окружности и площади круга: 2πr и πr². Также помогает знание свойств прямоугольника, поскольку развёртка боковой поверхности имеет его форму. Эти связи объясняют, почему в формулах появляются окружность основания, площадь круга и высота цилиндра.

Формулы цилиндра используются в задачах о телах вращения и при изучении других пространственных фигур. Например, при вычислении площадей поверхностей конуса и шара также рассматривают площадь поверхности и объём тела. Умение находить радиус по диаметру и следить за единицами пригодится в каждой из этих тем.

Что запомнить

• Длина окружности основания цилиндра равна 2πr.
• Площадь боковой поверхности: Sбок = 2πrh.
• Площадь двух оснований: 2πr².
• Полная площадь поверхности: Sполн = 2πr(h + r).
• Объём цилиндра: V = πr²h.
• Площадь измеряют в квадратных единицах, объём — в кубических.