"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Пирамида — многогранник с многоугольником в основании и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине. Умение вычислять её площадь поверхности и объём помогает решать задачи о пространственных телах и находить, например, сколько материала нужно для изготовления модели. Площадь боковой поверхности складывают из площадей треугольников, а объём находят по площади основания и перпендикулярной высоте. Для правильной пирамиды вычисления площади боковых граней упрощает апофема.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольником, а боковые грани — треугольниками с общей вершиной. Например, если основание — квадрат, у пирамиды четыре боковые грани. Это определение помогает увидеть, какие фигуры нужно учитывать при вычислениях.
Площадь боковой поверхности пирамиды — сумма площадей всех её боковых граней. Каждая такая грань является треугольником, поэтому её площадь находят по формуле S = ½ah, где a — основание треугольника, h — высота к нему. Это понятие нужно, когда требуется узнать площадь одних только боковых частей.
Площадь полной поверхности пирамиды — сумма площадей боковой поверхности и основания. Если обозначить площадь основания через Sосн, а боковую площадь через Sбок, то Sполн = Sбок + Sосн. Такое разделение не позволяет случайно забыть основание или учесть его дважды.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани. Она проведена от вершины грани к стороне основания и перпендикулярна этой стороне. Апофема нужна как высота треугольной грани, а значит, позволяет вычислить её площадь.
Чтобы найти площадь боковой поверхности произвольной пирамиды, нужно сложить площади всех боковых треугольников. У каждой грани может быть своё основание и своя высота, поэтому площади сначала вычисляют по отдельности по формуле S = ½ah. Складывают только полученные площади: длины рёбер сами по себе площадью не являются. Такой способ работает и тогда, когда грани не равны.
У правильной пирамиды все боковые грани равны, а высоты этих треугольников совпадают с апофемой. Если стороны основания имеют длины a₁, a₂ и так далее, то сумма площадей граней равна ½a(a₁ + a₂ + …). Выражение в скобках — периметр основания P, поэтому Sбок = ½Pa. Формула становится короткой именно потому, что общая высота позволяет вынести апофему за скобки.
Полную площадь получают, прибавляя к боковой площадь основания: Sполн = Sбок + Sосн. Основание не входит в боковую поверхность, потому что оно не является одной из треугольных граней. Например, у пирамиды с квадратным основанием для полной площади нужно прибавить площадь квадрата, даже если боковые грани уже посчитаны.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. Здесь h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Коэффициент ⅓ возникает при сравнении пирамиды с призмой, у которых одинаковы основание и высота: объём пирамиды составляет треть объёма такой призмы. Поэтому одной и той же площади основания и высоты недостаточно перемножить без деления на три.
Перед вычислением полезно выписать, что известно и что требуется найти. Если нужной длины нет среди данных, её определяют из геометрических соотношений, например с помощью теоремы Пифагора. Затем выбирают формулу: для боковой площади правильной пирамиды — ½Pa, для полной — прибавляют площадь основания, для объёма — используют ⅓Sоснh. В конце проверяют размерность: площадь должна быть в квадратных единицах, а объём — в кубических.
| Величина | Общая пирамида | Правильная пирамида |
|---|---|---|
| Площадь боковой поверхности | Сумма площадей всех боковых треугольников | Sбок = ½Pa |
| Площадь полной поверхности | Sполн = Sбок + Sосн | Sполн = ½Pa + Sосн |
| Объём | V = ⅓Sоснh | V = ⅓Sоснh |
| Какие данные нужны для вычисления | Для Sбок — основания и высоты боковых граней; для Sполн — ещё Sосн; для V — Sосн и h | Для Sбок — P и апофема a; для Sполн — ещё Sосн; для V — Sосн и h |
В таблице P обозначает периметр основания, a — апофему, Sосн — площадь основания, h — высоту пирамиды. Сначала выберите строку с искомой величиной, затем проверьте, подходит ли столбец к вашей пирамиде и известным данным. Если пирамида не правильная, складывайте площади граней отдельно, а не подставляйте длины в формулу ½Pa.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6 см, апофема равна 5 см. Найдём площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности. Поскольку пирамида правильная, боковые грани имеют одну и ту же высоту, и можно воспользоваться формулой через периметр. После этого к боковой площади прибавим площадь квадрата-основания.
Ответ: площадь боковой поверхности равна 60 см², полной поверхности — 96 см². Площадь основания добавлена только при вычислении полной поверхности. Обе величины выражены в квадратных сантиметрах, поскольку речь идёт о площади.
Площадь основания пирамиды равна 24 см², а высота — 9 см. Требуется найти объём. Из условия уже известны обе величины, необходимые для формулы V = ⅓Sоснh, поэтому искать дополнительные длины не нужно. Высота здесь именно перпендикулярна основанию.
Ответ: 72 см³. Множитель ⅓ обязателен, потому что объём пирамиды равен трети объёма призмы с такими же основанием и высотой. Кубические сантиметры указывают, что найден объём, а не площадь.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см, а высоты граней, построенных на сторонах 6 см и 8 см, указаны равными 13 см. Найдём площади по этим данным: по две грани опираются на стороны каждого вида. При этом надо заметить: такие данные геометрически несовместимы для одной пирамиды, но формальная подстановка заданных величин даёт следующие результаты.
Формальные ответы по указанным числам: 230 см² и 192 см³. Однако в реальной пирамиде высоты боковых граней не могут одновременно равняться 13 см при заданных сторонах основания и высоте 12 см. Например, расстояния от проекции вершины до сторон прямоугольника не могут быть одинаковыми для сторон длиной 6 и 8 см. Поэтому условие следует проверить: численные ответы получены только при прямой подстановке данных.
При вычислении полной поверхности иногда забывают прибавить площадь основания. Это происходит, когда боковую и полную поверхность считают одним и тем же. Проверьте себя по записи Sполн = Sбок + Sосн: если площадь основания нигде не учтена, ответ относится только к боковым граням.
Формулу Sбок = ½Pa могут ошибочно применять к любой пирамиде. Она удобна, поэтому кажется универсальной, но предполагает общую высоту боковых граней — апофему правильной пирамиды. Если грани различаются, найдите площадь каждой отдельно и сравните выбранный способ с определением боковой поверхности.
В формуле объёма иногда пропускают деление на три или подставляют вместо высоты пирамиды апофему. Первое случается при спешке, второе — из-за смешения высоты бокового треугольника и расстояния до плоскости основания. Перед вычислением подпишите величины в формуле V = ⅓Sоснh и убедитесь, что h перпендикулярна основанию.
Ещё одна ошибка — не проверять единицы измерения и складывать величины разных типов. Например, длину нельзя прибавлять к площади, а результат вычисления объёма нельзя записывать в квадратных сантиметрах. Проверьте каждый шаг: длины измеряются в сантиметрах, площади — в см², объёмы — в см³.
Для вычисления боковой поверхности нужны формулы площади треугольника и многоугольников, а также умение находить периметр основания. Если высота грани или высота пирамиды не дана, могут понадобиться теорема Пифагора и свойства перпендикулярных прямых. Эти знания помогают сначала восстановить нужные длины, а затем выбрать подходящую формулу площади или объёма. Те же способы используются в задачах о других многогранниках и телах в пространстве.
Чем площадь боковой поверхности отличается от площади полной поверхности?
Боковая поверхность включает только треугольные грани, сходящиеся в вершине. Полная поверхность включает ещё и основание, поэтому равна сумме боковой поверхности и площади основания.
Можно ли использовать формулу через периметр основания для любой пирамиды?
Нет. Формула Sбок = ½Pa применима к правильной пирамиде: у неё боковые грани имеют общую высоту — апофему. Для произвольной пирамиды нужно отдельно найти площадь каждой боковой грани и сложить результаты.
Что называют апофемой правильной пирамиды?
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая от вершины к стороне основания. Её используют как высоту треугольной грани при вычислении боковой площади.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется коэффициент 1/3?
Пирамида с теми же площадью основания и высотой имеет объём, равный одной трети объёма призмы. Поэтому в формуле V = ⅓Sоснh произведение площади основания на высоту делят на три.
Как найти площадь боковой поверхности, если пирамида не является правильной?
Найдите площадь каждой боковой треугольной грани по формуле S = ½ah, где a — основание треугольника, а h — высота к этому основанию. Затем сложите площади всех граней. Формулу через периметр и одну апофему в общем случае использовать нельзя.
§ 45. Вычисление площади поверхности и объема пирамиды
