"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, сходящейся в одной вершине. Такие формы встречаются у воронок, колпаков и дорожных конусов. Чтобы находить площадь поверхности, нужно знать радиус основания и образующую, а для объёма — радиус и высоту. В задачах важно не путать образующую с высотой: для прямого конуса они связаны теоремой Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, сходящейся в одной вершине. Прямой круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. При вращении другой катет образует круг-основание, а гипотенуза — боковую поверхность. Это представление помогает увидеть, откуда берутся основные элементы конуса.
Радиус основания r — радиус круга, лежащего в основании конуса. Высота h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Радиус нужен для вычисления площади основания и объёма, а высота показывает, насколько конус вытянут вверх. В формулах важно не заменять высоту наклонным отрезком.
Образующая l — отрезок боковой поверхности от вершины конуса до точки окружности основания. У прямого конуса радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому l² = h² + r². По этой связи можно найти неизвестную величину, если известны две другие. Образующая понадобится для вычисления площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности Sбок показывает площадь только изогнутой части конуса, а площадь полной поверхности Sполн включает ещё и основание. Объём V характеризует пространство внутри тела. Для прямого конуса используют формулы Sбок = πrl, Sполн = πr(l + r), V = ⅓πr²h. Эти обозначения помогают быстро выбрать нужный расчёт по условию задачи.
Если разрезать боковую поверхность конуса по образующей и расправить её, получится сектор круга. Радиус этого сектора равен l: все точки боковой поверхности при развёртке сохраняют расстояние до вершины. Дуга сектора соответствует окружности основания, потому что при сворачивании края развёртки должны соединиться по этой окружности. Поэтому длина дуги равна 2πr.
Площадь сектора можно выразить через его радиус и длину дуги: она равна половине их произведения. Радиус сектора — образующая l, а длина дуги — 2πr. Подставляя эти значения, получаем Sбок = ½ · l · 2πr = πrl. Значит, для нахождения боковой поверхности достаточно знать радиус основания и образующую.
Полная поверхность складывается из двух неперекрывающихся частей: боковой поверхности и круга-основания. Площадь основания равна πr², поэтому её прибавляют к площади боковой поверхности: Sполн = πrl + πr². Вынеся общий множитель πr, получаем равносильную запись Sполн = πr(l + r). Если нужно покрыть конус материалом снаружи, учитывают обе части, включая основание.
У прямого конуса образующая наклонена к плоскости основания, а высота перпендикулярна ей. Вместе с радиусом основания они образуют прямоугольный треугольник: радиус лежит в плоскости основания, высота — под прямым углом к ней. Поэтому теорема Пифагора даёт l² = h² + r². Эта связь позволяет найти образующую для формулы площади, если в условии заданы радиус и высота.
Объём конуса равен трети объёма цилиндра с таким же основанием и такой же высотой. У цилиндра объём равен площади основания, умноженной на высоту, то есть πr²h; для конуса результат делят на три. Отсюда следует формула V = ⅓πr²h. В ней используется именно перпендикулярная высота, потому что объём зависит от расстояния между основанием и вершиной, а не от наклона боковой поверхности.
| Что вычисляем | Формула | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Площадь боковой поверхности | Sбок = πrl | Радиус r и образующая l |
| Площадь полной поверхности | Sполн = πr(l + r) | Радиус r и образующая l |
| Объём | V = ⅓πr²h | Радиус r и высота h |
| Связь радиуса, высоты и образующей прямого конуса | l² = r² + h² | Любые две из величин r, h, l |
Сначала определите, что требуется найти: боковую площадь, полную площадь или объём. Затем проверьте, есть ли все необходимые данные; если нет, используйте связь между радиусом, высотой и образующей. Перед вычислениями переведите величины в одинаковые единицы.
Задача 1. Радиус основания конуса равен 3 см, образующая — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Здесь известны именно те величины, которые входят в формулу Sбок = πrl, поэтому сначала подставим их, а затем проверим единицы ответа.
Ответ: 15π см². Площадь выражена в квадратных сантиметрах, поскольку при вычислении перемножались две длины. Если нужен приближённый результат, можно подставить π ≈ 3,14.
Задача 2. Радиус основания прямого конуса равен 5 см, высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности. В формуле полной площади нужна образующая, которой в условии нет, поэтому сперва найдём её по теореме Пифагора. После этого отдельно сложим площади боковой поверхности и основания.
Ответ: 90π см². Такой порядок действий подходит, когда даны радиус и высота, а требуется площадь поверхности. Можно проверить результат по формуле Sполн = πr(l + r): π · 5 · (13 + 5) = 90π см².
Задача 3. Объём конуса равен 48π см³, радиус основания — 4 см. Найдите высоту, образующую и площадь полной поверхности. Из объёма сначала определим высоту, затем для прямого конуса найдём образующую. Только после этого можно вычислить обе части полной поверхности.
Ответ: высота — 9 см, образующая — √97 см, площадь полной поверхности — 4π(√97 + 4) см². Оставить ответ с корнем допустимо: √97 не является целым числом. Приближённо площадь равна 62,4π см², или примерно 196 см².
В формулу боковой поверхности иногда подставляют высоту вместо образующей. Так происходит потому, что обе величины начинаются у вершины, но высота идёт перпендикулярно к основанию, а образующая наклонена к нему. Проверьте себя по чертежу или условию: в Sбок = πrl нужна длина наклонного отрезка. Если дана только высота, для прямого конуса сначала найдите образующую.
При вычислении полной поверхности могут оставить только πrl и забыть площадь основания. Обычно это случается, когда формулу боковой поверхности принимают за формулу полной. Проверьте смысл задачи: если требуется вся поверхность, к боковой части нужно добавить круг πr². Контрольная запись — Sполн = πrl + πr².
В формулу объёма порой подставляют образующую вместо высоты. Образующая кажется подходящей длиной, но она измеряется наклонно, тогда как объём конуса определяется перпендикулярным расстоянием между вершиной и основанием. Сверьтесь с формулой V = ⅓πr²h: в ней стоит h. Если известна только образующая, сначала найдите высоту по теореме Пифагора.
Ещё одна ошибка — принять диаметр основания за радиус. Это легко сделать, если в условии дана длина всего круга поперёк, а обозначение r в формуле сразу подставляют без проверки. Радиус вдвое меньше диаметра: r = d/2. Перед вычислениями выпишите найденный радиус и убедитесь, что возводите в квадрат именно его, а не диаметр.
Для вычислений понадобятся формулы длины окружности 2πr и площади круга πr². Площадь боковой поверхности выводится через развёртку-сектор, поэтому полезно знать, как находят площадь сектора. А связь l² = h² + r² опирается на теорему Пифагора.
Формулы конуса применяют при решении задач о телах вращения и предметах конической формы. С их помощью можно оценить площадь материала для покрытия или объём пространства внутри воронки и похожих предметов. Главное — правильно определить радиус, высоту и образующую по условию.
Чем образующая конуса отличается от его высоты?
Высота — перпендикуляр от вершины конуса к плоскости основания. Образующая — наклонный отрезок от вершины до точки окружности основания. У прямого конуса образующая длиннее высоты.
Почему в формуле площади боковой поверхности используется образующая?
При развёртке боковая поверхность становится сектором круга, радиус которого равен образующей. Поэтому площадь сектора, а значит и боковой поверхности, вычисляется через образующую и длину дуги.
Как найти образующую, если известны радиус и высота?
Для прямого конуса радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l = √(r² + h²).
Почему объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой?
У конуса и цилиндра с одинаковыми основанием и высотой объёмы относятся как 1:3. Поэтому объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓πr²h.
Как найти площадь полной поверхности, если известны радиус и образующая?
Сначала найдите площадь боковой поверхности по формуле πrl. Затем прибавьте площадь основания πr². Можно сразу использовать формулу Sполн = πr(l + r).
§ 46. Вычисление площади поверхности и объема конуса
