"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Правильная усечённая пирамида — часть правильной пирамиды, отрезанная плоскостью, параллельной основанию. У неё два подобных правильных многоугольника в основаниях, а боковые грани — равные трапеции. Чтобы вычислять площадь поверхности, нужно отличать апофему от высоты тела; для объёма используют высоту и площади оснований. Эти формулы помогают находить количество материала для покрытия фигуры и её вместимость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная усечённая пирамида — часть правильной пирамиды между её основанием и сечением, параллельным основанию. У неё есть нижнее и верхнее основания, боковые грани, рёбра и вершины. Это определение позволяет представить тело как часть исходной пирамиды, а не как отдельную фигуру с произвольными гранями.
Основания усечённой пирамиды — два подобных правильных многоугольника: соответствующие стороны у них параллельны, а углы равны. Обозначим площади оснований через B₁ и B₂, а их периметры — через P₁ и P₂. Эти обозначения помогают отдельно учитывать площади для объёма и периметры для боковой поверхности.
Апофема усечённой пирамиды — высота её боковой грани-трапеции; обозначим её l. Высота самой усечённой пирамиды h — перпендикуляр между плоскостями оснований, поэтому обычно она не совпадает с l. Различие нужно учитывать при выборе формулы: апофема участвует в вычислении боковой поверхности, а высота — объёма.
Площадь полной поверхности — сумма площади боковой поверхности и площадей обоих оснований. Если боковая площадь обозначена Sбок, то Sполн = Sбок + B₁ + B₂. Так учитываются все внешние грани тела, в том числе верхняя и нижняя.
Параллельное основанию сечение исходной пирамиды образует многоугольник, подобный её основанию. Это следует из подобия фигур, возникающих при пересечении боковых рёбер параллельными прямыми: соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Поэтому оба основания усечённой пирамиды правильные и подобные, а размеры верхнего можно связать с размерами нижнего через один коэффициент подобия.
Каждая боковая грань исходной правильной пирамиды — равнобедренный треугольник. Параллельный основанию срез образует на нём меньший подобный треугольник, поэтому оставшаяся часть — трапеция с параллельными основаниями. Поскольку исходная пирамида правильная, её боковые грани равны; после одинакового среза оставшиеся трапеции тоже равны. Высота такой трапеции и есть апофема усечённой пирамиды.
Площадь одной трапеции равна полусумме её оснований, умноженной на высоту. Если сложить площади всех боковых граней, короткие основания трапеций в сумме дадут периметр верхнего многоугольника P₁, а длинные — периметр нижнего P₂. Общая высота трапеций равна l, поэтому получается формула Sбок = (P₁ + P₂)l/2. Она работает для любого правильного многоугольника в основании.
Объём усечённой пирамиды находят как разность объёмов исходной большой пирамиды и отсечённой маленькой. Их высоты относятся так же, как соответствующие линейные размеры, а площади оснований — как квадраты этих размеров, поскольку пирамиды подобны. Подставив эту связь в формулы объёма пирамид и выполнив вычитание, получаем V = h/3 · (B₁ + B₂ + √(B₁B₂)). Слагаемое с корнем отражает связь размеров оснований и отличает формулу от формулы объёма призмы.
Чтобы найти l через высоту h, рассмотрите сечение, проходящее через ось пирамиды и середины соответствующих сторон оснований. В этом сечении разность апофем оснований r₁ − r₂ показывает горизонтальное смещение боковой грани, а h — вертикальное расстояние. Эти отрезки перпендикулярны, поэтому вместе с апофемой l образуют прямоугольный треугольник; по теореме Пифагора l = √(h² + (r₁ − r₂)²).
| Величина | Обозначение | Формула или смысл |
|---|---|---|
| Площади оснований | B₁ и B₂ | Площади двух подобных правильных многоугольников |
| Периметры оснований | P₁ и P₂ | Суммы длин сторон соответствующих оснований |
| Боковая поверхность | Sбок | Sбок = (P₁ + P₂)l/2, где l — апофема усечённой пирамиды |
| Полная поверхность | Sполн | Sполн = Sбок + B₁ + B₂ |
| Объём | V | V = h/3 · (B₁ + B₂ + √(B₁B₂)), где h — высота усечённой пирамиды |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти: для боковой площади понадобятся периметры и апофема, для объёма — площади оснований и высота. Если нужна полная поверхность, к боковой площади обязательно прибавьте площади обоих оснований. Следите, чтобы длины были в одинаковых единицах, а площади — в квадратных.
Правильная усечённая четырёхугольная пирамида имеет стороны оснований 6 см и 10 см, а апофему 5 см. Найдите площади боковой и полной поверхности. Четырёхугольные правильные основания — квадраты, поэтому их периметры равны четырём сторонам, а площади — квадратам сторон. Для боковой площади используем формулу с периметрами, а для полной добавим оба квадрата.
Ответ: площадь боковой поверхности равна 160 см², полной — 296 см². Проверьте, что использована именно апофема 5 см, а не высота тела. В полной площади учтены оба основания.
Стороны квадратных оснований равны 4 см и 10 см, высота усечённой пирамиды — 4 см. Найдите апофему и площадь боковой поверхности. У квадратов апофема основания — расстояние от центра до стороны, то есть половина стороны. Разность этих расстояний даст горизонтальный катет прямоугольного треугольника, а высота пирамиды — вертикальный.
Ответ: апофема равна 5 см, площадь боковой поверхности — 140 см². Прямоугольный треугольник составлен из высоты тела, разности апофем оснований и апофемы боковой грани. Так объясняется, почему в расчёте нельзя просто принять боковую апофему равной высоте.
Основания правильной усечённой треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со сторонами 3 см и 6 см, высота равна 4 см. Найдите объём и полную поверхность. Сначала вычислим площади оснований и используем формулу объёма; для полной поверхности понадобится ещё апофема боковой грани. Апофема равностороннего треугольника равна a√3/6, поэтому разность апофем оснований можно подставить в теорему Пифагора.
Ответ: V = 21√3 см³, Sполн = (27√67 + 45√3)/4 см². В вычислениях для полной поверхности сначала нашли боковую часть, а затем добавили площади обоих треугольников. Поскольку стороны заданы в сантиметрах, объём выражен в кубических сантиметрах, а площади — в квадратных.
Подстановка высоты тела вместо апофемы в формулу боковой поверхности даёт неверный результат: это разные отрезки. Ошибка возникает, когда оба отрезка принимают за «высоту» и не смотрят, где именно они расположены. Проверьте чертёж мысленно: нужная для Sбок длина лежит в боковой грани и соединяет её параллельные стороны перпендикулярно им.
При вычислении полной поверхности иногда прибавляют только одно основание, потому что сосредотачиваются на видимой верхней или нижней грани. Но тело имеет два основания, и оба входят в его внешнюю поверхность. Для проверки запишите Sполн = Sбок + B₁ + B₂ и убедитесь, что в записи есть оба слагаемых.
В формуле объёма могут сложить только площади оснований и забыть √(B₁B₂), перенеся сюда формулу призмы. Такое упрощение неверно: усечённая пирамида сужается, поэтому её объём не равен произведению площади одного основания на высоту. Сверьте подстановку с формулой V = h/3 · (B₁ + B₂ + √(B₁B₂)); все три слагаемых в скобках должны иметь размерность площади.
Нельзя складывать длины сторон вместо периметров или путать, к какому основанию относится величина. Это часто происходит, когда стороны и периметры обозначают без подписей. Перед вычислением найдите периметр каждого основания отдельно и проверьте, что все длины заданы в одинаковых единицах, а соответствующие площади и периметры относятся к одному и тому же основанию.
Для решения задач нужны формулы периметра и площадей правильных многоугольников, площадь трапеции и теорема Пифагора. Подобие фигур объясняет, почему основания связаны пропорцией и как получить формулу объёма усечённой пирамиды. Тема продолжает изучение площади поверхности и объёма пирамиды: знание формул для целой пирамиды помогает понять способ вычитания. Эти вычисления применимы при оценке вместимости и площади покрытия тел со скошенными боковыми гранями.
Чем апофема усечённой пирамиды отличается от её высоты?
Высота усечённой пирамиды перпендикулярна плоскостям оснований и соединяет их. Апофема — высота боковой грани-трапеции, то есть наклонный отрезок на боковой поверхности. Для формулы боковой площади нужна апофема, а для объёма — высота.
Почему боковые грани правильной усечённой пирамиды являются трапециями?
У правильной пирамиды боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от каждого треугольника меньший подобный треугольник. Оставшаяся часть грани имеет одну пару параллельных сторон, поэтому является трапецией.
Как найти боковую поверхность, если известны периметры оснований и апофема?
Сложите периметры обоих оснований, умножьте сумму на апофему и разделите на 2: Sбок = (P₁ + P₂)l/2. Апофема в этой формуле — высота боковой грани, а не высота усечённой пирамиды.
Почему в формуле объёма есть корень из произведения площадей оснований?
Объём усечённой пирамиды получают вычитанием объёма меньшей пирамиды из объёма исходной. Основания этих пирамид подобны, поэтому при преобразовании разности объёмов появляется среднее геометрическое площадей оснований — √(B₁B₂).
Как найти апофему усечённой пирамиды, если известны её высота и размеры оснований?
Найдите апофемы двух оснований, то есть расстояния от их центров до сторон, и вычислите разность. Эта разность вместе с высотой усечённой пирамиды образует катеты прямоугольного треугольника, а апофема тела — его гипотенузу. Примените теорему Пифагора: l = √(h² + (r₁ − r₂)²).
§ 47. Вычисление площади поверхности и объема правильной усеченной пирамиды
