"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Усечённый конус — часть конуса между основанием и параллельным ему сечением. У него два круглых основания разного размера и боковая поверхность. Чтобы вычислить площадь поверхности, нужно знать радиусы оснований и образующую, а для объёма — радиусы и высоту. Главные формулы темы позволяют находить эти величины и применять их в задачах о телах вращения и предметах такой формы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Усечённый конус — часть конуса, заключённая между его основанием и плоскостью, параллельной основанию. В результате такого сечения у тела появляются два круглых основания и боковая поверхность. Меньший круг получается в месте сечения, а больший — в исходном основании конуса. Это определение помогает представить, какие части нужно учитывать при вычислении поверхности и объёма.
Радиусы оснований усечённого конуса — радиусы большего и меньшего кругов; их обозначают R и r, причём R > r. Буква R относится именно к большему основанию, а r — к меньшему. Такое соглашение удобно для записи формул и помогает не перепутать площади πR² и πr². Если в условии радиусы названы без указания порядка, сначала определите, какой из них больше.
Высота усечённого конуса — расстояние между плоскостями его оснований, обозначаемое h. Это расстояние измеряется по перпендикуляру к основаниям, а не вдоль наклонной боковой поверхности. Высота нужна для вычисления объёма и участвует в связи с образующей. Поэтому важно отличать её от любого наклонного отрезка на поверхности тела.
Образующая усечённого конуса — отрезок боковой поверхности между окружностями оснований; его обозначают l. Она идёт наклонно и соединяет соответствующие точки двух окружностей. Образующая нужна при вычислении площади боковой поверхности, но обычно не равна высоте. Если её длина неизвестна, её можно найти по высоте и разности радиусов.
Если провести через усечённый конус плоскость через его ось, получится осевое сечение — фигура, проходящая через центры оснований. Эта фигура является равнобедренной трапецией: её параллельные стороны представляют диаметры оснований и равны 2R и 2r. Наклонные боковые стороны трапеции соответствуют образующим и равны l. Такое сечение наглядно показывает, откуда в формулах появляются оба радиуса и образующая.
В осевом сечении можно выделить прямоугольный треугольник. Один катет равен высоте h, другой — разности радиусов R − r: меньший радиус отсчитывается от оси до малой окружности, а больший — до большой. Гипотенузой этого треугольника служит образующая l. Поэтому по теореме Пифагора l² = h² + (R − r)²; эта зависимость позволяет найти образующую, если известны высота и радиусы.
Чтобы получить площадь боковой поверхности, представим её развёрнутой: боковая часть превращается в сектор кольца. Длины окружностей у его краёв связаны с радиусами оснований, а наклонная высота этого сектора соответствует образующей. После вычисления площади развёртки получается формула Sбок = π(R + r)l. В ней стоит сумма радиусов, а не их разность, и используется именно образующая, потому что развёртка идёт по наклонной поверхности.
Полная поверхность состоит из боковой части и двух оснований. Площадь большего основания равна πR², меньшего — πr², поскольку каждое из них является кругом. Складывая эти площади с площадью боковой поверхности, получаем Sполн = π(R + r)l + πR² + πr². Если оставить за бортом одно из оснований, будет найдена площадь не всей поверхности, а только её части.
Объём усечённого конуса можно рассматривать как разность объёмов большого конуса и отсечённого сверху малого конуса. Эти конусы подобны, потому что сечение проведено параллельно основанию, поэтому их линейные размеры связаны одинаковым отношением. Подставив в формулу объёма конуса радиусы и высоты подобных частей и вычтя меньший объём из большего, после преобразования получаем V = πh(R² + Rr + r²)/3. В этой формуле используется высота усечённого конуса, то есть расстояние между его основаниями.
| Что вычисляем | Обозначения и формула | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Образующая | l² = h² + (R − r)² | R > r; все длины в одинаковых единицах |
| Площадь большего основания | πR² | Используется больший радиус |
| Площадь меньшего основания | πr² | Используется меньший радиус |
| Площадь боковой поверхности | π(R + r)l | Нужна образующая, а не высота |
| Площадь полной поверхности | π(R + r)l + πR² + πr² | Учитываются оба основания |
| Объём | πh(R² + Rr + r²)/3 | В формуле используется высота |
Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую строку. Если для площади боковой поверхности образующая не дана, найдите её по первой формуле. Перед подстановкой проверьте порядок радиусов и единицы измерения.
Задача 1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 7 см, высота — 3 см. Найдите образующую. Искомая величина связана с высотой и разностью радиусов прямоугольным треугольником. Поэтому больший радиус обозначим R = 7 см, меньший — r = 3 см, а затем применим теорему Пифагора.
Ответ: образующая равна 5 см.
Задача 2. Радиусы оснований равны 2 см и 5 см, образующая — 5 см. Найдите площадь полной поверхности. Полная площадь включает боковую поверхность и оба круга, поэтому нельзя ограничиться одним слагаемым. Обозначим R = 5 см, r = 2 см и сразу запишем все части формулы.
Ответ: 64π см² (примерно 201,1 см²). Квадратные сантиметры указаны потому, что вычислялась площадь.
Задача 3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 6 см, высота — 4 см. Найдите объём и площадь полной поверхности. Для объёма нужна высота, которая уже дана, а для площади сначала потребуется образующая. Чтобы не смешать формулы, выполним эти вычисления отдельно.
Ответ: площадь полной поверхности равна 90π см², объём — 84π см³. В первом результате стоят квадратные, а во втором — кубические сантиметры.
Подставлять высоту вместо образующей в формулу боковой площади. Высота перпендикулярна основаниям, а образующая идёт наклонно по поверхности, поэтому это разные отрезки. Их часто путают, поскольку оба задают «высоту» тела на рисунке, но для боковой площади требуется l. Проверьте себя по связи l² = h² + (R − r)²: при R > r образующая должна быть длиннее высоты.
Учитывать только одно основание при вычислении полной площади. Так происходит, когда решающий вспоминает о боковой поверхности и добавляет только площадь нижнего круга. Но у усечённого конуса два основания, и их площади обычно различны. Для проверки выпишите три слагаемых: боковую площадь, πR² и πr².
Путать радиусы R и r или менять их местами без проверки. Если больший радиус подставить вместо меньшего, обозначения перестанут соответствовать принятому условию R > r, а вычисления станет труднее контролировать. Ошибка часто появляется, когда радиусы просто переписывают из условия в случайном порядке. Перед подстановкой сравните числа и явно запишите, какой радиус относится к большему основанию.
Использовать образующую вместо высоты в формуле объёма. Можно ошибиться, перенося значение l из вычисления площади в следующую формулу. Однако объём определяется расстоянием между плоскостями оснований, поэтому в формуле стоит h. Сверьте формулу с обозначениями и проверьте единицы: в ней кубическая длина получается из трёх множителей длины.
Для работы с усечённым конусом нужны формула площади круга и формула объёма конуса: они помогают учитывать основания и объяснять объём тела. Теорема Пифагора связывает высоту, образующую и разность радиусов в осевом сечении. Объяснение формулы объёма опирается на подобие конусов: усечённое тело рассматривают как разность двух подобных частей. Эти знания пригодятся при решении задач о телах вращения и при вычислении площади поверхности и вместимости предметов в форме усечённого конуса.
Чем высота усечённого конуса отличается от его образующей?
Высота h — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Образующая l проходит по наклонной боковой поверхности между окружностями оснований. Поэтому при R > r образующая длиннее высоты.
Как найти образующую, если известны высота и радиусы оснований?
Используйте прямоугольный треугольник, в котором катеты равны h и R − r, а гипотенуза — l. По теореме Пифагора l = √(h² + (R − r)²).
Почему в формуле боковой поверхности используется сумма радиусов?
При развёртывании боковая поверхность связана с длинами окружностей обоих оснований. Их длины равны 2πR и 2πr, поэтому в формуле появляется сумма радиусов R + r: Sбок = π(R + r)l.
Нужно ли включать оба основания при вычислении полной площади?
Да, полная поверхность включает боковую часть и оба круглых основания. Поэтому к π(R + r)l прибавляют πR² и πr².
Почему в формуле объёма усечённого конуса появляется произведение Rr?
Объём находят как разность объёмов двух подобных конусов. При преобразовании этой разности возникает выражение R² + Rr + r², где средний член Rr связывает радиусы обоих оснований.
§ 48. Вычисление площади поверхности и объема усеченного конуса
