"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Шар — тело, ограниченное сферой, и для расчёта его размеров достаточно знать радиус или диаметр. Площадь поверхности показывает, сколько места занимает внешняя оболочка шара, а объём — сколько пространства находится внутри него. Площадь вычисляют по формуле S = 4πR², объём — по формуле V = 4⁄3πR³. Степени радиуса объясняют, почему при увеличении шара его площадь и объём растут с разной скоростью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Иными словами, в шар входят и его внутренняя часть, и граница. Это определение помогает отличить объёмное тело от одной только его поверхности.
Сфера — поверхность шара; все её точки находятся от центра на расстоянии, равном радиусу. Её можно представить как границу, отделяющую шар от окружающего пространства. Сфера нужна, когда рассматривают внешнюю оболочку тела и вычисляют её площадь.
Площадь поверхности шара — площадь сферы, ограничивающей шар; её обозначают S. Она показывает, какую площадь занимала бы поверхность, если бы её можно было развернуть в плоскую фигуру. Это величина для описания оболочки, поэтому её измеряют квадратными единицами.
Объём шара — объём пространства, занимаемого шаром; его обозначают V. Он показывает, сколько места тело занимает внутри границы, а не насколько велика его оболочка. Объём нужен, например, чтобы оценить вместимость или количество материала, необходимого для заполнения шара.
Для вычислений достаточно знать радиус шара R — расстояние от его центра до поверхности. Если известен диаметр d, то его можно перевести в радиус: d = 2R, значит, R = d⁄2. Это важно, потому что стандартные формулы записаны через радиус, а диаметр в них нельзя подставлять без преобразования.
Площадь сферы вычисляют по формуле S = 4πR². Радиус возводится в квадрат, потому что площадь относится к двумерным величинам: при изменении масштаба тела в k раз площадь меняется в k² раз. Множитель 4 отличает площадь сферы от площади круга радиусом R: поверхность шара не является плоским кругом.
Объём шара находят по формуле V = 4⁄3πR³. Здесь радиус возводится в третью степень, поскольку объём характеризует трёхмерное пространство и имеет размерность длина × длина × длина. Коэффициент 4⁄3π задаёт точное соотношение между радиусом и объёмом шара.
Формулы можно записать через диаметр, если заменить в них R на d⁄2. Для площади получаем S = 4π(d⁄2)² = πd², а для объёма V = 4⁄3π(d⁄2)³ = πd³⁄6. Такой способ удобен, когда в условии дан диаметр и не требуется отдельно находить радиус.
Сравнивая шары, нужно учитывать степень радиуса в нужной формуле. Если радиус одного шара больше радиуса другого в k раз, то их площади относятся как k², а объёмы — как k³. Причина в том, что площадь зависит от квадрата радиуса, а объём — от его куба; поэтому объём при росте размера увеличивается быстрее.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус R | Формула через диаметр d | Единицы измерения |
|---|---|---|---|---|
| Площадь поверхности шара | S | 4πR² | πd² | Квадратные: см², м² |
| Объём шара | V | 4⁄3πR³ | πd³⁄6 | Кубические: см³, м³ |
| Связь радиуса и диаметра | R, d | d = 2R | R = d⁄2 | Единицы длины: см, м |
Сначала найди в условии известную величину: радиус или диаметр, а затем выбери соответствующий столбец с формулой. Проверь, что в ответе указаны правильные единицы измерения. Если используешь формулу через радиус, диаметр предварительно раздели на 2.
Нужно найти площадь поверхности, поэтому используем формулу S = 4πR². Радиус уже дан, значит, преобразовывать исходные данные не требуется. Поскольку радиус указан в сантиметрах, площадь ответа должна быть в квадратных сантиметрах.
Ответ: 36π см², или приблизительно 113,1 см². Сначала удобно оставить точное значение с π, а округлённое записать отдельно. Единица см² показывает, что мы нашли площадь, а не длину или объём.
В условии дан диаметр, а формула через радиус требует знать R. Поэтому первым шагом будет деление диаметра пополам. Затем вычислим объём по формуле V = 4⁄3πR³ и проверим, что ответ выражен в кубических сантиметрах.
Ответ: 500π⁄3 см³, или приблизительно 523,3 см³. Делить на 2 нужно до подстановки, иначе вместо радиуса в формуле окажется диаметр. Степень 3 относится именно к радиусу.
Пусть радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Требуется сравнить не сами радиусы, а площади поверхности и объёмы. В формулах площади стоит квадрат радиуса, а в формуле объёма — куб, поэтому возводим множитель 2 в соответствующую степень.
Ответ: площади различаются в 4 раза, объёмы — в 8 раз. Такой способ сравнения позволяет не подставлять конкретные радиусы и не вычислять значения с π. Достаточно определить, в какой степени радиус входит в нужную формулу.
Первая ошибка — подставлять диаметр вместо радиуса. Так делают, потому что оба значения описывают размер шара, но в формуле через R они не взаимозаменяемы: R = d⁄2. Особенно велика ошибка в объёме, где радиус возводится в куб; проверяй, что до подстановки разделил диаметр на 2.
Вторая ошибка — считать площадь сферы по формуле круга πR². Путают, потому что и там и там используются число π и квадрат радиуса, однако сфера — поверхность шара, а не плоский круг. Проверь формулу: для поверхности шара нужен множитель 4, то есть S = 4πR².
Третья ошибка — записывать площадь в кубических единицах или объём в квадратных. Причина обычно в невнимании к смыслу ответа, хотя единицы связаны с размерностью величины. Перед записью результата спроси себя, что найдено: площадь поверхности измеряется, например, в см², объём — в см³.
Четвёртая ошибка — считать, что при увеличении радиуса в k раз площадь и объём тоже увеличиваются в k раз. Это забывает степени в формулах: площадь зависит от R², а объём от R³. Для проверки возведи множитель изменения радиуса в квадрат или куб соответственно.
Для работы с формулами шара нужно знать, что такое радиус и диаметр, и уметь находить площадь круга. Представление об объёме цилиндра помогает понять, почему объём измеряют в кубических единицах и как сравнивают объёмные тела. Формулы шара пригодятся в задачах о телах вращения, сравнении геометрических тел и вычислении площади или объёма составных фигур. В таких задачах шар может быть частью более сложного тела, поэтому сначала определяют его радиус, а затем применяют нужную формулу.
Чем шар отличается от сферы?
Шар — всё пространство внутри границы вместе с самой границей. Сфера — только эта граница, то есть поверхность шара.
Как найти площадь поверхности шара, если известен его диаметр?
Можно сразу использовать формулу S = πd². Она получается из формулы S = 4πR², если учесть, что R = d⁄2.
Почему в формуле площади радиус возводится в квадрат, а в формуле объёма — в куб?
Площадь измеряет двумерную величину, поэтому зависит от двух измерений и содержит квадрат длины. Объём описывает трёхмерное пространство, поэтому в его формуле радиус стоит в третьей степени.
В каких единицах записывать площадь поверхности и объём шара?
Площадь записывают в квадратных единицах: например, см² или м². Объём выражают в кубических единицах: см³ или м³.
Во сколько раз изменится объём шара, если его радиус увеличить вдвое?
Объём увеличится в 2³ = 8 раз. Это следует из формулы V = 4⁄3πR³: при удвоении радиуса его куб возрастает в восемь раз.
§ 49. Вычисление площади поверхности и объема шара
