"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Её основные инструменты — признаки равенства и подобия треугольников, свойства углов, теорема Пифагора, отношения сторон и углов, формулы площадей. Они помогают находить неизвестные длины и углы, доказывать равенство фигур и решать задачи с окружностями. Повторяя тему, полезно не только помнить формулы, но и понимать, какие данные позволяют применить каждую из них.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольники называют подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого. Это понятие позволяет переносить свойства с одной фигуры на другую и находить неизвестные длины по пропорции.
Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Катет называют противолежащим или прилежащим относительно выбранного угла. Эти отношения помогают связывать углы и стороны, когда известны не все элементы треугольника.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её в других точках. Дуга, на которую он опирается, находится внутри угла между точками пересечения сторон с окружностью. По дуге можно связать величину вписанного угла с центральным углом и решать задачи, где даны хорды или углы.
Площадь многоугольника — величина, которая характеризует часть плоскости, занимаемую фигурой. Площадь измеряют в квадратных единицах, например в см² или м². Она нужна, чтобы сравнивать фигуры и вычислять, сколько места занимает область внутри их границ.
Признаки равенства треугольников позволяют доказать, что две фигуры совпадают по форме и размеру, не сравнивая каждую точку отдельно. Достаточно установить равенство определённых элементов: двух сторон и угла между ними, стороны и прилежащих углов или всех трёх сторон. Для подобия требования мягче: соответствующие углы должны совпасть, а стороны могут отличаться в одном и том же отношении. Поэтому подобие особенно удобно, когда нужно найти длину, но треугольники имеют разный размер.
Параллельные прямые создают равные соответственные и накрест лежащие углы, а односторонние углы в сумме дают 180°. Эти связи позволяют увидеть равные углы в треугольниках и четырёхугольниках, даже если они не отмечены отдельно. Например, если через две стороны треугольника провести параллельную третьей прямую, возникает меньший треугольник с теми же углами, что и исходный. Отсюда следует подобие, а затем можно составить пропорцию для неизвестного отрезка.
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а вписанный — на самой окружности. Проведём радиусы к концам дуги: получившиеся треугольники равнобедренные, потому что их стороны-радиусы равны. Если рассмотреть углы при основании этих треугольников, сумма углов вокруг центра и сумма углов треугольников приводят к тому, что центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Поэтому при известном центральном угле вписанный находят делением на два.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Она позволяет найти третью сторону, если известны две другие, а также проверить, прямой ли угол образуют стороны. Синус, косинус и тангенс добавляют связь с углом: выбрав угол, мы можем выразить отношение нужных сторон. Так, зная гипотенузу и угол, можно найти катеты, а по двум катетам — определить тангенс острого угла.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = ½ah. Высота важна потому, что показывает расстояние между основанием и противоположной вершиной, а не просто длину наклонной стороны. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поскольку его можно преобразовать в прямоугольник той же площади. У трапеции основания параллельны, поэтому её площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = ½(a + b)h.
| Тема | Основное правило или формула | Когда применять |
|---|---|---|
| Признаки равенства треугольников | Две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны | Чтобы доказать совпадение треугольников по размеру и форме |
| Признаки подобия треугольников | Два равных угла; пропорциональные две стороны и равный угол между ними; пропорциональность трёх сторон | Чтобы найти неизвестную сторону через отношение соответствующих сторон |
| Теорема Пифагора | a² + b² = c² | В прямоугольном треугольнике для нахождения стороны |
| Синус, косинус и тангенс острого угла | sin α = противолежащий катет / гипотенуза; cos α = прилежащий катет / гипотенуза; tg α = противолежащий / прилежащий катет | Когда требуется связать стороны прямоугольного треугольника с углом |
| Вписанный угол и дуга окружности | Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу | Для нахождения угла или дуги по известному углу |
| Длина окружности и длина дуги | C = 2πR; l = 2πRα/360° | Для вычисления длины окружности или дуги с центральным углом α |
| Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции | S = ½ah; S = ah; S = ½(a + b)h | Когда известны основание и соответствующая высота |
Сначала выясните, какие данные есть в задаче и какую величину требуется найти, затем выберите подходящую строку. В формулах площади убедитесь, что высота проведена именно к выбранному основанию. Для подобия перед составлением пропорции отдельно сопоставьте вершины и стороны.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и синус угла, лежащего напротив катета длиной 6 см. Сначала следует вычислить гипотенузу, потому что она понадобится для определения синуса. Угол указан через противолежащий ему катет, поэтому в отношении синуса числителем будет 6.
Ответ: гипотенуза равна 10 см, sin α = 3/5.
В треугольнике ABC прямая, параллельная BC, пересекает AB и AC в точках D и E. Известно, что AD = 4 см, DB = 2 см, а AE = 6 см; найдите EC. Малый треугольник ADE и исходный ABC имеют общий угол A. Кроме того, из-за параллельности DE и BC равны углы ADE и ABC, а также AED и ACB, поэтому треугольники подобны по двум углам.
Ответ: EC = 3 см.
В окружности радиуса 5 см хорда длиной 8 см стягивает дугу, на которую опирается вписанный угол. Найдите расстояние от центра до хорды и величину вписанного угла, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 100°. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. После этого можно рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой-радиусом и катетом, равным половине хорды.
Ответ: расстояние от центра до хорды равно 3 см, вписанный угол равен 50°.
Считать треугольники подобными по одной паре равных углов недостаточно: один угол не задаёт форму треугольника. Так делают, потому что замечают общий угол и забывают проверить остальные данные. Для признака по двум углам найдите ещё одну пару равных углов, например с помощью параллельных прямых.
Если при подобии записать пропорцию между несоответствующими сторонами, вычисление может выглядеть правильным, но ответ окажется неверным. Ошибка часто возникает, когда вершины сопоставляют только по расположению на рисунке. Перед вычислением запишите соответствие вершин, затем проверьте, что в отношении стоят стороны, лежащие напротив одинаковых углов.
Синус и косинус легко перепутать, поскольку оба используют гипотенузу в знаменателе. Причина — неуточнённое положение катета относительно выбранного угла. Подпишите противолежащий и прилежащий катеты именно для этого угла, а затем проверьте: у синуса в числителе первый, у косинуса — второй.
Вписанный угол иногда принимают равным центральному, хотя он вдвое меньше угла, опирающегося на ту же дугу. Путаница возникает из-за общей дуги и одинаковых концов углов. Чтобы проверить результат, вспомните, что центральный угол должен быть больше вписанного в два раза; например, при 100° центрального угла вписанный равен 50°.
Перед повторением полезно уверенно знать свойства углов при параллельных прямых, признаки равенства треугольников и теорему Пифагора. Они дают основу для доказательств и вычислений в планиметрии. Повторённые приёмы пригодятся в экзаменационных задачах и при изучении стереометрии, где свойства фигур рассматривают в сечениях. Подобие и тригонометрические отношения также помогают находить недоступные расстояния и высоты по измеряемым углам и отрезкам.
Как понять, какие стороны треугольников соответствуют друг другу?
Сначала сопоставьте вершины с равными углами: они занимают одинаковые положения в подобных треугольниках. Затем соедините соответствующие вершины и получите пары соответствующих сторон. Проверить выбор можно по признаку подобия или по одинаковому отношению сторон.
Можно ли найти стороны прямоугольного треугольника, если известны только угол и одна сторона?
Да, если известен острый угол и любая одна сторона, можно использовать синус, косинус или тангенс. Выберите отношение, в котором есть известная и искомая стороны, и составьте уравнение. Если известна только сторона без угла, данных обычно недостаточно.
Почему вписанный угол равен половине центрального угла?
Оба угла опираются на одну дугу, поэтому их величины связаны с одной и той же частью окружности. Центральный угол равен угловой мере этой дуги, а вписанный угол — половине её меры. Поэтому вписанный угол вдвое меньше центрального.
Как выбрать формулу площади, если высота фигуры не дана?
Попробуйте найти высоту через известные стороны, угол и теорему Пифагора или тригонометрические отношения. Для треугольника также подходит формула S = ½ab sin γ, где γ — угол между сторонами a и b. В трапеции иногда можно определить высоту, опустив перпендикуляры к основанию.
С чего начинать решение задачи, в которой одновременно есть окружность и треугольник?
Отметьте, какие элементы треугольника связаны с окружностью: радиусы, хорды, дуги или углы. Затем используйте подходящее свойство окружности, например перпендикуляр от центра к хорде делит её пополам. Полученные длины и углы подставьте в теорему Пифагора или свойства треугольников.
§ 51. Повторение курса планиметрии
