§ 4. Параллелограмм и его площадь

Определения и обозначения

Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно его обозначают ABCD: вершины записывают по порядку, а стороны называют AB, BC, CD и DA. Такое обозначение помогает точно указывать стороны, углы, диагонали и высоты фигуры.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, которые не имеют общей вершины. В параллелограмме ABCD это пары AB и CD, а также BC и AD. Их выделяют отдельно, потому что именно они параллельны и равны.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если основание обозначено a, соответствующую высоту часто обозначают hₐ. Высота нужна для вычисления площади и всегда образует прямой угол с выбранным основанием или его продолжением.

Площадь параллелограмма — величина, равная произведению длины выбранного основания на соответствующую ему высоту. Если основание равно a, а его высота — h, то S = ah. Выбирая другую сторону основанием, нужно брать и другую, соответствующую ей высоту.

Как это устроено

Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Если провести диагональ AC, она образует с параллельными сторонами равные накрест лежащие углы. Треугольники ABC и CDA имеют общую диагональ AC, равные углы при ней и равные соответствующие стороны, поэтому они равны; отсюда AB = CD и BC = AD.

Из равенства двух треугольников следуют и свойства углов. Угол A соответствует углу C, а угол B — углу D, поэтому противоположные углы равны. Соседние углы опираются на одну из параллельных прямых и являются односторонними внутренними, значит, их сумма равна 180°.

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, потому что у них общая диагональ, а остальные стороны попарно равны. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то равенство треугольников AOB и COD показывает, что AO = OC и BO = OD. Значит, каждая диагональ делится точкой пересечения пополам.

Высота зависит от того, какую сторону выбрали основанием. К основанию AB проводят перпендикуляр из вершины C или D, а к основанию AD — перпендикуляр из B или C. В тупоугольном параллелограмме перпендикуляр иногда попадает на продолжение противоположной стороны, но его длина всё равно является соответствующей высотой.

Чтобы получить формулу площади, отрежем от параллелограмма прямоугольный треугольник у одного края и перенесём его к другому краю. Получится прямоугольник с тем же основанием a и той же высотой h, поэтому его площадь равна ah. Перестановка части фигуры не меняет общую площадь, следовательно, S = ah.

Площадь не изменяется и при сдвиге боковой стороны параллельно самой себе. Основание остаётся прежним, а расстояние между параллельными прямыми, содержащими основания, то есть высота, не меняется. Поэтому произведение основания на высоту сохраняется, хотя форма параллелограмма становится более наклонной.

Параллелограмм: свойства и площадь

В таблице сначала найдите нужный элемент фигуры, а затем используйте его свойство или формулу. При вычислении площади всегда проверяйте, что высота относится именно к выбранному основанию. Обозначения AB, BC и другие соответствуют сторонам параллелограмма ABCD.

Разбор задач

Задача 1

Основание параллелограмма равно 8 см, а соответствующая высота — 5 см. Требуется найти площадь. Известны оба множителя формулы, поэтому дополнительных построений не нужно.

1. Запишем формулу: S = ah.
2. Подставим значения: S = 8 · 5 = 40 см².

Ответ: 40 см².

Задача 2

Площадь параллелограмма равна 54 см², основание — 9 см. Нужно найти высоту к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому выразим её из формулы площади.

1. Из S = ah получаем h = S/a.
2. Подставляем данные: h = 54/9 = 6 см.
3. Проверяем: 9 · 6 = 54 см², значит вычисление выполнено верно.

Ответ: 6 см.

Задача 3

В параллелограмме ABCD AB = 10 см, высота к стороне AB равна 4 см, AD = 6 см. Сначала найдём площадь по известной паре AB и высота, затем используем эту же площадь для стороны AD. Площадь одной фигуры не зависит от того, какую сторону выбрали основанием.

1. S = AB · hₐ = 10 · 4 = 40 см².
2. Для основания AD соответствующая высота hᵦ находится так: hᵦ = S/AD.
3. hᵦ = 40/6 = 20/3 см, или 6⅔ см.

Ответ: площадь равна 40 см², высота к стороне AD — 20/3 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить основание на высоту к другой стороне. Так получается неверная пара величин, поэтому перед вычислением сверяйте направление перпендикуляра и выбранное основание.

Вторая ошибка — принять боковую сторону за высоту. Это допустимо только при прямом угле между боковой стороной и основанием; проверьте наличие обозначения перпендикулярности.

Третья ошибка — использовать формулу треугольника S = ah/2. Параллелограмм состоит из двух равных треугольников, поэтому деление на два при нахождении его общей площади исчезает.

Четвёртая ошибка — считать, что высота обязательно находится внутри фигуры. Если параллелограмм тупоугольный, проведите перпендикуляр к продолжению стороны и берите длину перпендикулярного отрезка.

Связь с другими темами

Для изучения параллелограмма нужны свойства параллельных прямых, виды углов, понятие перпендикуляра и формула площади прямоугольника. Доказательства свойств диагоналей опираются на равенство треугольников.

Формула S = ah станет основой при изучении площадей треугольника, ромба и трапеции. Она также помогает решать задачи, где по площади находят сторону или высоту.

Что запомнить

• В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны и равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Высота должна быть перпендикулярна именно выбранному основанию.
• Площадь параллелограмма вычисляется по формуле S = ah.
• Для одной и той же площади произведения разных оснований на соответствующие высоты равны.