"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Площадь треугольника и трапеции помогает узнать, сколько места занимает фигура на плоскости. Для вычислений нужны основание и высота: у треугольника берут половину их произведения, а у трапеции — половину произведения высоты на сумму параллельных сторон. Основание можно выбирать, но соответствующая ему высота должна быть перпендикулярна. Эти формулы позволяют находить не только площадь, но и неизвестную сторону или высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, равная половине произведения выбранного основания на высоту, проведённую к нему. Обычно площадь обозначают буквой S, основание — a, а высоту — h, поэтому формулу записывают так: S = ah/2. Она нужна, чтобы измерять пространство, занимаемое треугольником, и находить неизвестные величины по известной площади.
Основание и высота треугольника — это выбранная сторона и перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую эту сторону. Перпендикуляр — отрезок, образующий с прямой прямой угол. Выбор основания задаёт, какую высоту следует использовать, поэтому эти величины всегда рассматривают вместе.
Трапеция — четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами. Основания нужны для вычисления площади трапеции: именно их длины складывают в формуле.
Высота трапеции — расстояние между прямыми, содержащими её основания. Её измеряют от одного основания до другого по перпендикуляру, а не вдоль наклонной боковой стороны. Высота входит в формулу площади, потому что показывает расстояние между параллельными основаниями.
Формула площади треугольника связана с формулой площади параллелограмма: его площадь равна произведению основания на высоту. Если провести диагональ параллелограмма, он разделится на два равных по площади треугольника. Каждый из них занимает ровно половину площади параллелограмма, поэтому для треугольника произведение основания на высоту делят на два. Так получается формула S = ah/2.
Основанием треугольника можно назначить любую его сторону, потому что к каждой стороне можно провести высоту из противоположной вершины. При смене основания меняется и соответствующая высота, но произведение этих двух величин остаётся одинаковым: оно вдвое больше площади. Значит, результат не зависит от того, какую пару «сторона — высота» выбрали. Нельзя только взять одну сторону, а высоту — к другой: такое произведение не соответствует формуле.
Положение высоты зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике перпендикуляр из вершины попадает на противоположную сторону, поэтому высота проходит внутри фигуры. В прямоугольном треугольнике два катета уже перпендикулярны, и один из них может быть высотой к другому. У тупоугольного треугольника перпендикуляр иногда попадает не на саму сторону, а на её продолжение, но расстояние по-прежнему измеряют до прямой основания.
Чтобы получить формулу площади трапеции, можно соединить две равные трапеции так, чтобы вместе они образовали параллелограмм. Основание этого параллелограмма равно сумме оснований трапеции, а высота остаётся той же. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, а одна трапеция занимает половину его площади. Поэтому S = (a + b)h/2, то есть высота умножается на полусумму оснований.
В формуле трапеции a и b — именно параллельные стороны, поскольку вместе они образуют длину основания полученного параллелограмма. Высота h измеряет перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими эти стороны. Наклонная боковая сторона обычно длиннее этого расстояния и образует с основаниями не прямой угол. Если подставить её вместо высоты, получится площадь другой фигуры, а не данной трапеции.
| Фигура | Формула площади | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Треугольник | S = ah/2 | a — выбранное основание, h — высота к этому основанию |
| Трапеция | S = (a + b)h/2 | a и b — основания трапеции, h — высота |
Сначала определите фигуру, затем найдите нужные ей основания и высоту. У треугольника проверьте, что основание и высота относятся друг к другу, а у трапеции — что a и b параллельны. Перед вычислениями приведите длины к одинаковым единицам, а площадь запишите в квадратных единицах.
Основание треугольника равно 12 см, высота, проведённая к нему, — 7 см. Найдите площадь треугольника. Здесь уже даны обе величины, которые входят в формулу, и они соответствуют друг другу. Поэтому достаточно подставить их в формулу площади и выполнить вычисления.
Площадь выражаем в квадратных сантиметрах, потому что перемножались сантиметры. Ответ: 42 см².
Площадь треугольника равна 42 см², а основание — 12 см. Требуется найти высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестная величина стоит в формуле вместе с основанием, поэтому сначала выразим её, а затем подставим данные. Это помогает не перепутать, какую именно высоту мы находим.
Проверка: 12 · 7/2 = 42 см², то есть полученная высота даёт известную площадь. Единица результата — сантиметр, так как вычисляли длину. Ответ: 7 см.
Основания трапеции равны 8 см и 14 см, высота — 5 см. Сначала найдём площадь, затем выясним, как она изменится при увеличении высоты на 2 см. Основания остаются теми же, а новая высота станет равна 7 см. Поэтому нужно выполнить два вычисления по одной формуле и сравнить результаты.
При неизменных основаниях увеличение высоты увеличивает площадь. Ответ: сначала площадь равна 55 см², после увеличения высоты — 77 см², площадь увеличится на 22 см².
Иногда в формулу треугольника подставляют высоту, проведённую к другой стороне. Так происходит, если считать любую высоту подходящей независимо от выбранного основания. Перед вычислением подпишите пару: основание a и высота h к нему; затем проверьте, что высота опущена из противоположной вершины.
Ещё одна ошибка — забыть деление на два и получить площадь параллелограмма с теми же основанием и высотой. Причина в том, что сначала вспоминают формулу параллелограмма и не учитывают, что треугольник составляет лишь его половину. Проверьте запись: в формуле треугольника обязательно есть множитель 1/2, а результат должен быть вдвое меньше произведения основания на высоту.
В формуле трапеции порой складывают боковые стороны вместо оснований. Их можно перепутать, если ориентироваться на положение сторон, а не на параллельность. Найдите единственную пару параллельных сторон и складывайте только их длины.
Наклонную боковую сторону трапеции могут принять за высоту, потому что она соединяет основания. Но расстояние между параллельными прямыми измеряется по перпендикуляру, а боковая сторона обычно наклонена. Для проверки отметьте прямой угол между высотой и основаниями; если его нет, выбран не тот отрезок.
Для этих формул полезно знать площадь прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника находят умножением его сторон, а площадь параллелограмма — умножением основания на высоту; из последней формулы выводят правило для треугольника и трапеции. Здесь также пригодятся умение проводить перпендикуляр и переводить единицы длины.
Формулы помогают находить площади составных фигур, которые можно разделить на треугольники и трапеции. Их можно преобразовывать, чтобы по известной площади вычислить сторону или высоту. В таких задачах важно выбрать нужную формулу и подставить только соответствующие ей величины.
Можно ли выбрать любую сторону треугольника в качестве основания?
Да, основанием может быть любая сторона треугольника. Но к выбранной стороне нужно взять именно высоту, опущенную из противоположной вершины на прямую, содержащую эту сторону.
Может ли высота треугольника проходить вне треугольника?
Да. У тупоугольного треугольника высота, проведённая к некоторым сторонам, падает на продолжение стороны. Она всё равно перпендикулярна прямой, на которой лежит основание.
Почему площадь треугольника вдвое меньше произведения основания на высоту?
Если взять такой же треугольник и сложить его с первым, получится параллелограмм с теми же основанием и высотой. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому площадь одного треугольника составляет половину этой величины.
Какие стороны трапеции называются основаниями?
Основания трапеции — её параллельные стороны. Две другие стороны называют боковыми.
Почему боковую сторону трапеции нельзя подставить вместо высоты?
Высота — это расстояние между прямыми, на которых лежат основания, поэтому она перпендикулярна им. Боковая сторона обычно наклонена к основаниям и не показывает это расстояние.
§ 3. Площадь треугольника и трапеции
