"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Площадь многоугольной фигуры показывает, сколько места она занимает на плоскости. Её измеряют сравнением с квадратом выбранной единицы: например, квадратным сантиметром или квадратным метром. Площадь равных фигур одинакова, а площадь фигуры из частей без наложений равна сумме площадей этих частей. Главное правило для прямоугольника со сторонами a и b — S = ab; для квадрата со стороной a — S = a².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольной фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Фигурам, которые можно совместить движением, соответствуют равные площади. Это позволяет сравнивать фигуры и решать, какая занимает большую часть плоскости, даже если их очертания сложные.
Равновеликие фигуры — фигуры с равными площадями. Их форма и размеры могут различаться: например, длинный узкий прямоугольник и более широкий короткий прямоугольник могут иметь одинаковую площадь. Это понятие нужно, чтобы сравнивать не внешний вид фигур, а количество места, которое они занимают.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, площадь можно выражать в квадратных сантиметрах (см²); если в метрах — в квадратных метрах (м²). Квадратные единицы нужны потому, что площадь охватывает две стороны плоскости, а не только одну линию.
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон: S = ab. Здесь S обозначает площадь, а a и b — длины сторон, которые сходятся в одной вершине. Такая запись помогает находить площадь по известным сторонам, а при необходимости — выражать одну из сторон через площадь и другую сторону.
Чтобы измерить площадь, фигуру сравнивают с выбранной единицей. Например, можно выяснить, сколько квадратов со стороной 1 см укладывается внутри фигуры. Если вместо квадратного сантиметра взять квадратный метр, числовой результат изменится: крупная единица поместится меньшее число раз. Поэтому в ответе всегда нужны и число, и единица площади, например 12 см².
Равным фигурам приписывают одинаковую площадь, потому что их можно совместить без растяжения и деформации. Площадь также не меняется, если фигуру разрезать и сложить из тех же частей заново без наложений и промежутков. При таком составлении части только перемещаются: ни одна часть не исчезает и не добавляется. Это свойство позволяет находить площадь фигуры, которую трудно измерить целиком.
Если фигура составлена из нескольких многоугольников, не перекрывающих друг друга, её площадь равна сумме площадей частей. Причина проста: каждая часть занимает свой участок, а вместе они покрывают всю фигуру. Поэтому можно вычислить знакомые площади отдельно и сложить результаты. Если одна часть неизвестна, из общей площади и площади остальных частей можно вычесть известные значения.
Формулу прямоугольника сначала объясняют подсчётом единичных квадратов. При целых длинах сторон a и b вдоль одной стороны помещается a квадратов, а таких рядов — b, поэтому всего квадратов a · b. Например, при сторонах 4 и 3 получится 4 ряда по 3 квадрата, то есть 12 квадратных единиц. Отсюда следует правило S = ab.
Длины сторон могут быть не только целыми, но и дробными. Тогда прямоугольник можно разделить на более мелкие квадраты, например с подходящей дробной стороной, и подсчитать их количество. При таком разбиении сохраняется тот же смысл: число квадратных единиц равно произведению длин сторон. Поэтому формула S = ab подходит для любых положительных длин, если обе стороны выражены в одинаковых единицах.
| Что рассматриваем | Правило или формула | Условия и пояснения |
|---|---|---|
| Равные фигуры | Площади равны | Фигуры можно совместить; одинаковая площадь не требует одинаковой формы. |
| Фигура, составленная из частей без наложений | Площадь равна сумме площадей частей | Части покрывают всю фигуру, между ними нет промежутков. |
| Прямоугольник со сторонами a и b | S = ab | Стороны должны быть выражены в одинаковых единицах. |
| Квадрат со стороной a | S = a² | Это частный случай прямоугольника, у которого обе стороны равны. |
| Единицы площади | см², м² и другие квадратные единицы | Единица соответствует квадрату с заданной стороной. |
Сначала найди в таблице нужный вид фигуры или правило, а затем проверь условия применения. Для прямоугольника особенно важно, чтобы стороны были выражены в одной единице длины. Если фигура составная, убедись, что её части действительно не перекрываются и не оставляют пустых промежутков.
Задача 1. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Чтобы выбрать действие, вспомним формулу S = ab: площадь прямоугольника получают умножением длин смежных сторон. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Результат нужно записать в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24 см².
Задача 2. Прямоугольник площадью 48 см² имеет одну сторону 6 см. Найдите другую сторону. Известны площадь и одна сторона, значит, в равенстве S = ab нужно выразить неизвестный множитель. Деление площади на известную сторону даст длину второй стороны. Проверим вычисление обратным действием — умножением найденных сторон.
Ответ: 8 см.
Задача 3. Фигуру составили из прямоугольника 8 см на 5 см и квадрата со стороной 3 см; части расположены без наложений. Найдите площадь фигуры. Так как обе части входят в фигуру целиком и не перекрываются, достаточно найти их площади и сложить. Для прямоугольника используем произведение сторон, для квадрата — квадрат его стороны. Единицы длины одинаковы, поэтому итог будет в см².
Ответ: 49 см².
Нельзя умножать длины, выраженные в разных единицах, не переводя их к одной. Например, произведение значения в сантиметрах на значение в метрах даст неверный численный результат, если не учесть перевод. Эту ошибку допускают, потому что числа выглядят готовыми к умножению. Проверь, одинаковы ли единицы у обеих сторон, и только затем подставляй их в формулу.
Площадь нельзя записывать в линейных единицах, например просто в сантиметрах. Линейная единица обозначает длину, а результат умножения двух длин выражается в квадратных единицах: см², м² и так далее. Ошибка возникает, когда к числу механически приписывают единицу из условия. Для проверки посмотри, что именно найдено: длина или площадь.
Равновеликие фигуры не обязательно равны и не обязаны совпадать по форме. Их объединяет только равенство площадей, тогда как очертания и размеры могут отличаться. Путают эти понятия, потому что слово «равные» связывают с одинаковым видом фигур. Проверь себя вопросом: сравниваются ли площади или можно ли совместить фигуры целиком?
Складывать площади частей можно, только если части без наложений составляют всю фигуру. При перекрытии какая-то область будет учтена дважды, а при пустом промежутке часть фигуры останется неучтённой. Ошибку легко допустить, не проверив расположение частей. Перед сложением убедись, что они покрывают фигуру полностью и ни одна область не посчитана повторно.
Для изучения площади нужно знать, что такое многоугольник, прямоугольник и квадрат, а также уметь измерять длины отрезков. При вычислениях пригодятся умножение величин и перевод единиц длины и площади. Эти навыки помогают не только получить правильное число, но и записать результат в подходящих единицах. Свойства площади станут основой для изучения формул площадей параллелограмма, треугольника и других многоугольников.
Почему площадь измеряют квадратными, а не линейными единицами?
Линейная единица измеряет длину вдоль одной линии, а площадь описывает часть плоскости. Единицу площади задаёт квадрат со стороной в одну единицу длины, поэтому используют, например, см² и м².
Могут ли фигуры разной формы иметь одинаковую площадь?
Да. Например, прямоугольник и составленная из частей фигура другой формы могут занимать одинаковую площадь. Такие фигуры называют равновеликими.
Почему площадь составной фигуры можно найти сложением площадей частей?
Если части полностью составляют фигуру, не перекрываются и между ними нет промежутков, каждая точка фигуры учтена ровно один раз. Поэтому площади всех частей складывают.
Как найти сторону прямоугольника, если известны его площадь и другая сторона?
Из формулы S = ab вырази неизвестную сторону делением площади на известную сторону. Например, если неизвестна b, то b = S/a.
Нужно ли переводить сантиметры в метры перед вычислением площади?
Сначала приведи обе длины к одной единице, иначе их произведение будет вычислено неверно. Переводить сантиметры именно в метры необязательно: можно оставить сантиметры и получить площадь в см².
§ 2. Площадь многоугольной фигуры
