§ I. Многоугольники и многоугольные фигуры

Определения и обозначения

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединённых последовательно: конец одного звена является началом следующего. Точки соединения называют вершинами ломаной, а сами отрезки — её звеньями. Если начало и конец ломаной не совпадают, она незамкнутая; если совпадают — замкнутая. Это различие помогает понять, может ли ломаная ограничивать фигуру.

Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений. Её звенья называют сторонами многоугольника, концы звеньев — его вершинами, а углы между соседними сторонами — углами многоугольника. Например, многоугольник ABCDE имеет вершины A, B, C, D, E, а его стороны перечисляются по порядку: AB, BC, CD, DE, EA. Определение позволяет отличить многоугольник от любой другой ломаной.

Многоугольная фигура включает сам многоугольник как границу и всю область, которую эта граница ограничивает. Иными словами, в фигуру входят и стороны, и точки внутри них. Это понятие нужно, когда речь идёт о площади или о том, лежит ли точка внутри фигуры: одной границы для таких рассуждений недостаточно.

Выпуклый многоугольник — многоугольная фигура, в которой отрезок между любыми двумя её точками целиком принадлежит этой фигуре. У такого многоугольника каждый внутренний угол меньше 180°. Определение помогает описать форму без привязки к тому, как она выглядит на конкретном рисунке.

Как это устроено

Чтобы построить ломаную, соединяют отрезками несколько точек так, чтобы соседние звенья имели общий конец. Каждый новый отрезок продолжает путь от конца предыдущего, поэтому получается единая линия, а не набор отдельных частей. Если последним отрезком соединить конечную точку с начальной, ломаная станет замкнутой. Именно совпадение начала и конца создаёт границу, которая может отделить внутреннюю область от внешней.

Для многоугольника недостаточно просто замкнуть ломаную: она ещё не должна пересекать себя. При пересечении несоседних звеньев линия разбивает плоскость не так, как обычная граница многоугольника, и определение многоугольника к ней не применяют. У замкнутой ломаной каждому звену соответствует вершина, из которой оно начинается, если обходить ломаную по кругу. Поэтому сторон и вершин поровну, а соседние стороны встречаются в вершинах и образуют углы.

Замкнутая линия разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю области: чтобы перейти из одной в другую, нужно пересечь границу. Многоугольной фигурой называют не одну границу, а границу вместе с внутренней областью, потому что задачи могут касаться любой точки внутри контура. Например, площадь относится ко всей фигуре, а не только к её сторонам. Точки границы также принадлежат многоугольной фигуре.

Выпуклость можно проверять по отрезкам: выберите любые две точки фигуры и соедините их. Если каждый такой отрезок целиком остаётся внутри фигуры или на её границе, многоугольник выпуклый; если найдутся две точки, отрезок между которыми выходит наружу, он невыпуклый. Есть и проверки через прямые: фигура должна лежать по одну сторону от каждой прямой, содержащей её сторону. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше 180°, поскольку угол больше 180° образует «впадину».

У выпуклого многоугольника нет участков, вдающихся внутрь контура: например, квадрат или обычный треугольник выпуклы. У невыпуклого многоугольника есть «впадина», как у фигуры в форме стрелки с выемкой. Тогда можно провести отрезок между точками такой фигуры, который выйдет за границу, а один из внутренних углов окажется больше 180°. Внешний вид подсказывает ответ, но доказать его помогает проверка отрезков или углов.

Основные понятия о многоугольниках

Используйте таблицу слева направо: сначала выясните, из чего состоит линия, затем проверьте условия многоугольника и отделите границу от всей фигуры. Чтобы определить выпуклость, проверяйте именно условие про отрезки, а не равенство сторон или углов. Таблица помогает не смешивать связанные, но разные понятия.

Разбор задач

Задача 1. Вершины, стороны и углы

Условие: дана замкнутая ломаная ABCDE без самопересечений. Нужно назвать её вершины и стороны, определить число углов и назвать многоугольник. Буквы в обозначении указывают порядок обхода ломаной, поэтому стороны нельзя перечислять в случайном порядке. Поскольку фигура замкнута, последняя сторона соединяет последнюю вершину с первой.

1. Выписываем вершины по обозначению: A, B, C, D, E. Получаем пять вершин. Это сразу подсказывает, что у многоугольника будет пять сторон и пять углов.
2. Записываем звенья между соседними вершинами и замыкаем список: AB, BC, CD, DE, EA. Отрезок EA необходим, потому что ломаная замкнута.
3. Угол образуется в каждой вершине между двумя соседними сторонами. Значит, углов тоже пять, а фигура называется пятиугольником ABCDE.

Ответ: вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA; пять углов; пятиугольник ABCDE. Проверка: числа вершин, сторон и углов совпали. Если забыть последнюю сторону EA, получилось бы описание незамкнутой линии, а не заданного многоугольника.

Задача 2. Проверка определения многоугольника

Условие: среди изображённых линий одна замкнута, но пересекает себя, а другая не пересекает себя, но её начало и конец различны. Определите, какая из них является многоугольником. Для ответа нужно проверить оба условия определения, а не только посчитать отрезки. Достаточно установить, что хотя бы одно необходимое условие нарушено.

1. У первой линии начало и конец совпадают, поэтому она замкнутая. Однако несоседние звенья пересекаются, значит, самопересечение не позволяет назвать её многоугольником.
2. У второй линии самопересечения нет, но её начало не совпадает с концом. Следовательно, она незамкнутая и тоже не является многоугольником.
3. Сверяем результат с определением: многоугольник должен быть одновременно замкнутым и не иметь самопересечений. Ни одна из двух линий не выполняет оба требования.

Ответ: ни одна из данных линий не является многоугольником. В первой нарушено условие отсутствия самопересечений, во второй — условие замкнутости. Такой раздельный контроль помогает не принять любую линию из нескольких отрезков за многоугольник.

Задача 3. Доказательство выпуклости

Условие: нужно определить, выпуклый ли данный многоугольник, опираясь на отрезки между его точками и внутренние углы. Чертёж показывает форму, но сам по себе не доказывает свойство: важные точки могут быть выбраны неудачно. Поэтому сначала используем определение, а затем проверим, согласуется ли вывод с углами.

1. Для доказательства выпуклости нужно обосновать, что для любых двух точек многоугольной фигуры соединяющий их отрезок остаётся в фигуре. Если контур имеет «впадину», можно выбрать точки по разные стороны от неё: часть отрезка окажется снаружи, и многоугольник будет невыпуклым.
2. Проверяем внутренние углы. Если у многоугольника все они меньше 180°, это согласуется с выпуклостью; угол больше 180° указывает на «впадину» и невыпуклость. Само по себе измерение по неточному рисунку не заменяет доказательства.
3. Формулируем вывод по проверенному признаку: если отрезки между любыми двумя точками не выходят из фигуры, многоугольник выпуклый. Если найден хотя бы один выходящий наружу отрезок или угол больше 180°, он невыпуклый.

Ответ зависит от того, что установлено о данном многоугольнике: при выполнении условия для всех отрезков он выпуклый, при найденном контрпримере — невыпуклый. Чтобы завершить решение конкретной задачи, укажите найденные точки либо угол и объясните, какое условие нарушено. Это делает вывод проверяемым, а не основанным только на впечатлении от формы.

Типичные ошибки

Ошибочно называть многоугольником любую ломаную из нескольких звеньев. Так происходит, когда обращают внимание только на отрезки и не проверяют замкнутость и пересечения. Проверьте, совпадают ли начало и конец и не пересекаются ли несоседние звенья; оба условия обязательны.

Иногда за стороны принимают только заметные отрезки или путают стороны с диагоналями — отрезками между несоседними вершинами. Обычно это случается, когда не обходят контур по порядку. Перечислите звенья подряд, включая замыкающую сторону, и убедитесь, что их число равно числу вершин.

Равенство сторон или углов не является условием выпуклости. Эту ошибку допускают, смешивая форму фигуры с особыми свойствами, например правильностью. Для проверки выпуклости соединяйте точки фигуры отрезком или анализируйте углы, а длины сравнивайте только тогда, когда этого требует отдельная задача.

Нельзя надёжно определить выпуклость только по внешнему виду рисунка. На схеме «впадина» может быть почти незаметна, а выбранные на глаз точки не всегда показывают нарушение условия. Проверяйте, остаётся ли внутри фигуры отрезок между любыми двумя её точками; для невыпуклости достаточно предъявить один отрезок, выходящий наружу.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников понадобятся понятия точки, отрезка, прямой, угла, пересечения и полуплоскости. Они помогают описывать, как соединены звенья и по какую сторону от прямой лежит фигура. Далее эти понятия применяются к треугольникам, четырёхугольникам и другим видам многоугольников. Определения многоугольника и выпуклости также используются при нахождении периметров и площадей, построениях и доказательствах геометрических утверждений.

Что запомнить

• Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений.
• Звенья замкнутой ломаной являются сторонами многоугольника.
• Концы звеньев являются вершинами многоугольника.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Многоугольная фигура включает границу и внутреннюю область.
• В выпуклом многоугольнике отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит в фигуре.