"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Площадь многоугольника показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Её измеряют квадратными единицами и находят через разбиение на более простые фигуры. Главные формулы связывают площадь с длинами сторон, основаниями и перпендикулярными высотами. Знание этих правил помогает вычислять площади прямоугольников, параллелограммов, треугольников, трапеций и сложных многоугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — величина, характеризующая размер части плоскости, занятой фигурой. Её измеряют сравнением с квадратом, выбранным за единицу площади. Площадь нужна, чтобы вычислять, сколько места занимает участок, поверхность или деталь.
Равновеликие многоугольники — многоугольники, площади которых равны. Их форма, длины сторон и количество углов при этом могут быть разными. Это понятие позволяет заменять сложную фигуру другой, более удобной для вычисления, не меняя её площади.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна одной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а со стороной 1 м — 1 м². Квадратные единицы связаны так: 1 м² = 10 000 см², потому что в каждом направлении содержится по 100 сантиметров.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Она показывает расстояние между параллельными основаниями, а не длину наклонной боковой стороны. Именно это расстояние входит в формулу площади: S = ah.
Площадь измеряют, покрывая фигуру единичными квадратами без промежутков и наложений. Сколько таких квадратов поместилось, такова и площадь фигуры в выбранных единицах. При смене единицы число меняется, но сама площадь остаётся прежней: например, один квадратный метр содержит 10 000 квадратных сантиметров.
Если многоугольник разделить на части без наложений, его площадь равна сумме площадей этих частей. Это следует из того, что каждая точка исходной фигуры попадает ровно в одну часть. Поэтому сложный многоугольник можно разбить на прямоугольники, треугольники и другие знакомые фигуры.
У прямоугольника единичные квадраты образуют строки и столбцы. В каждой строке помещается столько квадратов, какова длина прямоугольника, а число строк равно его ширине. Поэтому общее количество квадратов находят умножением: S = ab.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Если у одного края отрезать треугольник и перенести его к другому краю, получится прямоугольник с теми же основанием и высотой. Перенос не меняет площадь, значит площадь параллелограмма равна площади этого прямоугольника: S = ah.
Треугольник с основанием a и высотой h составляет половину параллелограмма с такими же величинами, поэтому S = ½ah. Трапецию можно разделить на прямоугольник и треугольники либо дополнить до параллелограмма. В результате получается формула S = ½(a + b)h, где a и b — основания трапеции.
| Фигура | Формула площади | Что обозначают буквы |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = ab | a и b — длины смежных сторон |
| Параллелограмм | S = ah | a — основание, h — высота к нему |
| Треугольник | S = ½ah | a — основание, h — высота к нему |
| Трапеция | S = ½(a + b)h | a и b — основания, h — высота |
Сначала определите, какая фигура дана, и найдите все величины, входящие в её формулу. Высоту нужно отличать от наклонной стороны: она образует прямой угол с основанием. После подстановки проверьте единицы измерения и запишите ответ в квадратных единицах.
Найти площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см. У прямоугольника обе данные стороны являются смежными сторонами, поэтому дополнительных построений не требуется. Используем формулу S = ab.
Ответ: 28 см².
Основание параллелограмма равно 9 см, а высота к нему — 5 см. Боковая сторона отдельно не дана и для вычисления не нужна. Важно взять именно перпендикулярное расстояние между основаниями.
Ответ: 45 см².
Основания трапеции равны 6 см и 12 см, высота — 4 см. Разобьём её на прямоугольник и боковые треугольники: прямоугольная часть имеет размеры 6 см и 4 см, а сумма оснований двух треугольников равна 12 − 6 = 6 см. Такое разбиение позволяет увидеть происхождение формулы трапеции.
Ответ: 36 см². Совпадение результатов подтверждает правильность разбиения и вычислений.
Боковую сторону параллелограмма принимают за высоту. Так происходит, потому что боковая сторона видна на чертеже, а высота может находиться внутри или вне фигуры. Проверьте себя: высота должна образовывать прямой угол с выбранным основанием.
Забывают множитель ½. У треугольника площадь вдвое меньше площади параллелограмма с теми же основанием и высотой, а трапеция использует полусумму оснований. Перед вычислением найдите в формуле деление на 2 или множитель ½.
Складывают длины вместо вычисления площади. Сумма сторон даёт периметр, а площадь связана с произведением длин. Проверьте единицы: периметр выражают в сантиметрах, площадь — в см², м² и других квадратных единицах.
Считают равновеликие фигуры одинаковыми по форме. Равенство площадей не означает равенство сторон и углов. Чтобы проверить утверждение, сравните именно значения площадей, а не внешний вид фигур.
Для изучения площадей нужно знать формулы площади квадрата и прямоугольника, свойства параллельных прямых и понятие перпендикуляра. Эти знания объясняют, почему в формулах появляются произведения длин и почему высота должна быть перпендикулярной основанию.
Тема пригодится при вычислении площадей сложных фигур и нахождении неизвестных высот или оснований. Те же навыки используются в задачах на подобие, координатную геометрию и практические измерения участков или поверхностей.
Почему у равновеликих фигур может быть разная форма?
Равновеликими называют фигуры с одинаковыми площадями, а не с одинаковым видом. Например, прямоугольник и составленная из нескольких частей фигура могут занимать одинаковую часть плоскости.
Можно ли взять любую сторону параллелограмма за основание?
Да, любую сторону можно выбрать основанием. Но тогда нужно использовать именно высоту, перпендикулярную выбранному основанию.
Какую высоту использовать в формуле площади треугольника?
Берут высоту, проведённую к тому основанию, которое указано в формуле. Это перпендикулярное расстояние от противоположной вершины до прямой, содержащей основание.
Почему в формуле площади трапеции берут полусумму оснований?
Трапецию можно представить как фигуру, площадь которой зависит от среднего значения двух параллельных оснований. Поэтому сначала складывают основания и делят их сумму на 2, а затем умножают на высоту.
Как перевести площадь из квадратных сантиметров в квадратные метры?
Так как 1 м = 100 см, то 1 м² = 10 000 см². Поэтому площадь в квадратных сантиметрах делят на 10 000, чтобы получить квадратные метры.
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР
