"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Четырёхугольники — многоугольники с четырьмя сторонами, среди которых выделяют параллелограммы, трапеции, прямоугольники, ромбы и квадраты. Для каждой фигуры важны взаимное расположение сторон, величины углов и свойства диагоналей. Эти признаки помогают распознавать фигуры, доказывать их свойства и находить неизвестные элементы. Основа темы — сумма углов четырёхугольника, равная 360°, и признаки параллелограмма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами. Его вершины обычно обозначают последовательно буквами A, B, C, D, а саму фигуру — ABCD. Стороны записывают как AB, BC, CD и DA, диагонали соединяют противоположные вершины AC и BD, а углы находятся при соответствующих вершинах.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В ABCD стороны AB и CD образуют одну противоположную пару, а BC и AD — другую; соседние стороны имеют общую вершину. Такое обозначение помогает быстро находить пары элементов, которые можно сравнивать.
Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных противоположных сторон. Параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, трапецию называют равнобедренной.
Прямоугольник, ромб и квадрат — специальные виды параллелограмма. У прямоугольника все углы прямые, у ромба все стороны равны, а квадрат одновременно имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла. Эти дополнительные условия выделяют фигуры из общего класса параллелограммов.
Проведём в четырёхугольнике одну диагональ. Она разделит фигуру на два треугольника, а значит, все четыре внутренних угла войдут в суммы углов этих треугольников. Получаем 180° + 180° = 360°, поэтому сумма углов любого четырёхугольника равна 360°.
В параллелограмме диагональ образует пары равных углов при пересечении параллельных сторон. Поэтому треугольники по разные стороны диагонали равны по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следуют равенство противоположных сторон и углов, а также равенство отрезков, на которые точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ.
Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, можно использовать несколько признаков. Если обе пары противоположных сторон параллельны или противоположные стороны попарно равны, нужное свойство уже установлено. Параллелограммом будет и четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, а также фигура с диагоналями, делящимися пополам.
Прямоугольник и ромб наследуют все свойства параллелограмма, потому что каждый из них является его частным видом. У прямоугольника дополнительное условие — прямой угол, из-за которого диагонали равны. У ромба все стороны равны, поэтому его диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Квадрат сочетает условия прямоугольника и ромба, поэтому получает свойства обоих. В равнобедренной трапеции симметрия относительно перпендикуляра к основаниям меняет местами боковые стороны, но сохраняет саму фигуру. Поэтому соответствующие углы при каждом основании равны, а диагонали, переходящие друг в друга при симметрии, имеют одинаковую длину.
| Свойство | Параллелограмм | Прямоугольник | Ромб | Квадрат | Трапеция |
|---|---|---|---|---|---|
| Параллельные стороны | Две пары | Две пары | Две пары | Две пары | Одна пара — основания |
| Равенство сторон | Равны противоположные | Равны противоположные | Все стороны равны | Все стороны равны | У равнобедренной равны боковые |
| Равенство углов | Равны противоположные | Все по 90° | Равны противоположные | Все по 90° | У равнобедренной равны углы при каждом основании |
| Свойства диагоналей | Делятся пополам | Делятся пополам и равны | Делятся пополам, перпендикулярны, делят углы пополам | Делятся пополам, равны, перпендикулярны, делят углы пополам | У равнобедренной равны |
| Дополнительные признаки | Диагонали делятся пополам | Один прямой угол или равные диагонали | Все стороны равны или диагонали перпендикулярны | Прямоугольник и ромб одновременно | Равные боковые стороны — признак равнобедренной |
Таблица позволяет сравнить фигуры по одному выбранному свойству, например по диагоналям или равенству сторон. Сначала определите, какие условия даны в задаче, а затем найдите столбец с подходящей фигурой. Помните: свойства более специальной фигуры включают свойства общего вида, но не наоборот.
Задача 1. В четырёхугольнике три угла равны 78°, 102° и 95°. Найдём четвёртый угол, используя сумму углов четырёхугольника.
Ответ: четвёртый угол равен 85°.
Задача 2. Диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Докажем, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, четырёхугольник является параллелограммом.
Задача 3. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, AC = 14 см, BD = 10 см, а периметр треугольника AOB равен 20 см. Найдём стороны параллелограмма.
Ответ: AB = CD = 8 см; длину BC = AD по данным условия определить нельзя. Это показывает, что периметр треугольника AOB даёт только одну сторону параллелограмма.
Считать, что у трапеции параллельны боковые стороны, — ошибка в названии элементов. Основаниями называют именно параллельную пару, а боковыми сторонами — непараллельные. Проверьте себя: найдите две стороны без общей вершины и определите, параллельны ли они.
Нельзя переносить на все фигуры свойства диагоналей ромба или прямоугольника. У обычного параллелограмма диагонали лишь делятся пополам; равенство или перпендикулярность требуют дополнительных условий. Перед применением свойства определите вид четырёхугольника.
Равенство диагоналей само по себе не доказывает, что четырёхугольник — прямоугольник. Нужны, например, уже доказанное свойство параллелограмма и равные диагонали или прямой угол. Всегда проверяйте, к какому классу относится фигура.
Соседние стороны параллелограмма не обязаны быть равными. Равенство всех сторон — особенность ромба, а не общего параллелограмма. Сверяйте, являются ли сравниваемые стороны противоположными или соседними.
Для изучения четырёхугольников нужны свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников и сумма углов треугольника. Именно они позволяют доказывать равенство сторон, углов и диагональных отрезков.
Эти свойства пригодятся при решении задач на площади многоугольников. Например, понимание оснований, высот и диагоналей помогает выводить формулы площадей параллелограмма и трапеции.
Классификация четырёхугольников подготовит к изучению площадей прямоугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Симметрия и диагонали также будут использоваться в последующих доказательствах.
Почему сумма углов четырёхугольника равна 360°?
Диагональ делит любой выпуклый четырёхугольник на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов четырёхугольника равна 180° + 180° = 360°.
Как доказать, что четырёхугольник является параллелограммом?
Достаточно доказать один из признаков: обе пары противоположных сторон параллельны, одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, противоположные стороны попарно равны или диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Чем прямоугольник отличается от произвольного параллелограмма?
У прямоугольника все углы прямые, то есть равны 90°. Поэтому его диагонали, в отличие от диагоналей произвольного параллелограмма, равны.
Всегда ли диагонали ромба равны?
Нет, обычно диагонали ромба имеют разную длину. Они перпендикулярны, делят углы ромба пополам и пересекаются, делясь пополам; равными они становятся у квадрата.
Может ли квадрат считаться и прямоугольником, и ромбом?
Да. Квадрат имеет четыре прямых угла, поэтому является прямоугольником, и четыре равные стороны, поэтому является ромбом. Это одновременно частный случай обеих фигур.
Глава I
