"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. С его помощью можно находить стороны треугольника, если известны угол и одна из сторон. Главное — сначала определить, какой угол рассматривается, затем выбрать катет напротив него и разделить его длину на длину гипотенузы. Для одного и того же угла это отношение постоянно, даже если треугольник увеличить или уменьшить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла — отношение противолежащего этому углу катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. Например, для угла A записывают sin A = противолежащий катет / гипотенуза. Это отношение помогает связать угол с длинами сторон и находить неизвестные стороны.
Противолежащий катет — катет, который лежит напротив рассматриваемого угла. Чтобы его определить, сначала выбери острый угол, а затем найди сторону, которая не образует его и находится на противоположной стороне треугольника. Выбор угла важен: при переходе к другому острому углу противолежащим станет другой катет.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она одна и та же при рассмотрении любого из двух острых углов и всегда длиннее каждого катета. В формуле синуса гипотенуза находится в знаменателе, то есть на неё делят длину катета.
Обозначение sin A — запись синуса угла A; важно указывать, какой именно угол рассматривается. Буква A показывает, для какого угла выбирают противолежащий катет. Если изменить угол, изменится и соответствующее отношение сторон, поэтому запись sin A нельзя без проверки заменять на sin B.
На чертеже сначала найди прямой угол: напротив него расположена гипотенуза. Затем укажи острый угол, синус которого нужно найти; из двух катетов противолежащим будет тот, который не прилегает к этому углу. Например, если рассматривать угол A, проследи, какая сторона находится прямо напротив него. Такая последовательность не даёт случайно взять катет, прилегающий к углу.
Синус задают отношением сторон, а не одной длиной, потому что длины сами по себе зависят от масштаба треугольника. Если все стороны увеличить в несколько раз, их отношение не изменится: и числитель, и знаменатель умножатся на одно и то же число. Поэтому синус описывает свойство угла, а не то, большой или маленький треугольник нарисован.
Постоянство отношения можно объяснить подобием. Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом имеют ещё и одинаковый прямой угол, а значит, подобны по двум углам. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны: противолежащий катет и гипотенуза изменяются в одинаковое число раз. Их частное остаётся одинаковым, поэтому у одного и того же угла всегда один и тот же синус.
Синус острого угла больше нуля, потому что длины катета и гипотенузы положительны. Он меньше единицы, потому что катет короче гипотенузы, а значит, при делении катета на гипотенузу получается число меньше 1. Это удобная проверка: результат больше единицы указывает на ошибку в выборе сторон или делении.
Чтобы вычислить синус по известным сторонам, раздели противолежащий катет на гипотенузу. Если, наоборот, известны синус и гипотенуза, начни с равенства sin A = катет / гипотенуза и умножь обе части на гипотенузу. Получится: противолежащий катет = sin A · гипотенуза. Сначала убедись, что задан именно катет напротив нужного угла.
| Угол | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Значение синуса | ½ | √2/2 | √3/2 |
Таблица помогает быстро подставить точное значение синуса, если угол равен одному из указанных. Например, для угла 30° используют sin 30° = ½. Не перепутай значения в соседних столбцах: каждому углу соответствует своё число.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а катет, противолежащий углу A, — 5 см. Найдите sin A. Стороны для вычисления уже указаны, поэтому теорема Пифагора не нужна. Остаётся применить определение и проверить, что в знаменателе стоит гипотенуза.
Ответ: sin A = ½.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а sin A = ½. Найдите катет, противолежащий углу A. Здесь неизвестен числитель дроби в формуле синуса. Чтобы его найти, умножим синус на гипотенузу.
Ответ: 6 см.
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите синус угла, лежащего напротив катета 6 см. Сначала нужно получить гипотенузу, потому что именно она входит в знаменатель синуса. После этого используем катет, который прямо указан в условии как противолежащий нужному углу.
Ответ: sin A = 3/5.
Первая ошибка — взять прилежащий катет вместо противолежащего. Так случается, если ученик смотрит только на катет рядом с углом, а не на сторону напротив него. Проверь себя: у выбранного катета не должно быть общей вершины с рассматриваемым острым углом.
Вторая ошибка — разделить гипотенузу на катет. В определении синуса порядок обратный: катет делят на гипотенузу. Для проверки сравни длины: поскольку катет короче, правильное отношение должно быть меньше единицы.
Третья ошибка — перепутать угол и выбрать противоположный ему катет неверно. У прямоугольного треугольника два острых угла, и для каждого противолежащим является свой катет. Перед вычислением отметь нужный угол и только потом проследи, какая сторона лежит напротив него.
Четвёртая ошибка — считать, что синус меняется вместе с размером треугольника. Если треугольник увеличили, длины его сторон изменились, но прямоугольные треугольники с тем же острым углом подобны, поэтому отношение соответствующих сторон сохраняется. Сравни катет и гипотенузу до и после увеличения: если обе длины умножены на один коэффициент, их частное не меняется.
Для работы с синусом нужно уверенно распознавать прямоугольный треугольник, различать его катеты и гипотенузу. Полезно также уметь применять подобие: оно объясняет, почему отношение сторон зависит от угла, но не зависит от масштаба треугольника. Если гипотенуза неизвестна, может понадобиться теорема Пифагора.
Синус помогает решать прямоугольные треугольники по известным сторонам и углам. Позже рядом с ним появятся косинус и тангенс — другие отношения сторон прямоугольного треугольника. Вместе эти понятия пригодятся при решении тригонометрических задач.
Как понять, какой катет противолежит углу?
Сначала отметь угол, который рассматриваешь. Катет, не образующий этот угол и находящийся напротив него, — противолежащий. Гипотенузу с ним не путай: она всегда лежит напротив прямого угла.
Почему синус не меняется, если увеличить треугольник?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При увеличении треугольника противолежащий катет и гипотенуза изменяются в одинаковое число раз, поэтому их отношение остаётся прежним.
Может ли синус острого угла быть больше единицы?
Нет. Синус равен отношению катета к гипотенузе, а катет короче гипотенузы. Поэтому для острого угла синус больше нуля, но меньше единицы.
Как найти катет, если известны синус угла и гипотенуза?
Используй равенство sin A = противолежащий катет / гипотенуза. Умножь синус угла на гипотенузу: противолежащий катет = sin A · гипотенуза.
Что делать, если в задаче сначала неизвестна гипотенуза?
Если известны оба катета, найди гипотенузу по теореме Пифагора: c = √(a² + b²). Затем раздели противолежащий выбранному углу катет на найденную гипотенузу.
§ 7. Синус
