"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Теорема Пифагора помогает находить неизвестные длины в прямоугольном треугольнике, а также решать задачи о диагоналях, высотах и расстояниях. Главное — сначала увидеть прямой угол и определить, какая сторона лежит напротив него: это гипотенуза. Затем её квадрат связывают с квадратами катетов. Если прямоугольный треугольник не дан сразу, его можно выделить внутри прямоугольника или равнобедренного треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол с другим катетом. Обычно катеты обозначают a и b, а их квадраты входят в теорему Пифагора: a² + b² = c². Понимание того, какие стороны являются катетами, нужно, чтобы правильно подставить длины в формулу.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Её часто обозначают c, и по теореме Пифагора c² = a² + b². Она самая длинная: её квадрат равен сумме квадратов катетов, а значит, больше квадрата каждого из них.
Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. Она вместе с двумя соседними сторонами образует прямоугольный треугольник, потому что стороны прямоугольника перпендикулярны. Поэтому диагональ можно найти как гипотенузу, если известны длины сторон.
Высота равнобедренного треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию. Она делит исходный треугольник на два прямоугольных, а основание — на две равные части. Это позволяет использовать теорему Пифагора для вычисления высоты по боковой стороне и половине основания.
В задаче сначала нужно найти прямоугольный треугольник. Иногда он уже дан, а иногда его можно построить внутри фигуры: например, провести диагональ прямоугольника или высоту в равнобедренном треугольнике. Это нужно потому, что теорема Пифагора связывает стороны только прямоугольного треугольника. Отметьте, где находится прямой угол, и проверьте, какие отрезки его образуют.
Определять гипотенузу следует по положению относительно прямого угла, а не только по предполагаемой длине. Стороны, которые образуют прямой угол, — катеты, а сторона напротив него — гипотенуза. Такой порядок помогает не перепутать слагаемые в формуле. Проверка простая: гипотенуза должна быть длиннее каждого катета.
Если нужно найти гипотенузу, складывают квадраты катетов: c² = a² + b², а затем извлекают квадратный корень. Если неизвестен катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета: a² = c² − b². После извлечения корня получают длину нужной стороны. Именно вычитание появляется при переносе известного слагаемого в равенстве c² = a² + b².
После возведения длины в квадрат получается равенство для квадрата неизвестной стороны. Например, если x² = 25, то формально уравнение имеет два корня: 5 и −5. Но длина отрезка не бывает отрицательной, поэтому выбирают только положительный корень. Перед ответом полезно убедиться, что полученная длина больше нуля.
У прямоугольника диагональ — гипотенуза треугольника, образованного двумя сторонами, поэтому её квадрат равен сумме квадратов этих сторон. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам и создаёт прямоугольный треугольник, где боковая сторона — гипотенуза. Для расстояния между точками на координатной плоскости разности их координат по горизонтали и вертикали дают катеты. Во всех случаях сначала выделяют подходящий треугольник, а затем применяют теорему.
| Ситуация | Вспомогательный прямоугольный треугольник | Искомая величина | Связь между сторонами |
|---|---|---|---|
| Нахождение гипотенузы по двум катетам | Дан прямоугольный треугольник | Гипотенуза c | c = √(a² + b²) |
| Нахождение катета по гипотенузе и другому катету | Дан прямоугольный треугольник | Катет a | a = √(c² − b²) |
| Диагональ прямоугольника по его сторонам | Две стороны — катеты, диагональ — гипотенуза | Диагональ d | d = √(a² + b²) |
| Высота равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию | Высота и половина основания — катеты, боковая сторона — гипотенуза | Высота h | h = √(l² − (b/2)²) |
| Расстояние между двумя точками на координатной плоскости | Разности координат по осям — катеты | Расстояние между точками | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
Сначала найдите в таблице ситуацию, похожую на условие задачи, и определите, какая величина неизвестна. Затем сопоставьте стороны фигуры с катетами и гипотенузой: формула зависит от того, что требуется найти. Обозначения в таблице можно заменить буквами из своей задачи.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Нужно найти гипотенузу. Она лежит напротив прямого угла, поэтому применяем формулу для гипотенузы, а не для катета.
Ответ: 10 см. Проверка показывает, что гипотенуза 10 см длиннее обоих катетов.
Найдём диагональ прямоугольника со сторонами 9 см и 12 см. Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому вместе с диагональю образуют прямоугольный треугольник. Диагональ находится напротив прямого угла, значит, это гипотенуза.
Ответ: 15 см. В результате диагональ получилась длиннее каждой стороны, что соответствует её роли гипотенузы.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание — 10 см. Требуется найти высоту и площадь. Проведённая к основанию высота делит его пополам, поэтому получим прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см.
Ответ: высота равна 12 см, площадь — 60 см². Сначала теорема Пифагора дала нужную высоту, а затем её подставили в формулу площади.
Ошибка: назвать гипотенузой просто самую длинную на вид сторону, не проверяя положение прямого угла. Так делают, когда ориентируются на рисунок, который может быть не в масштабе. Проверьте, что выбранная сторона лежит напротив прямого угла; только тогда это гипотенуза.
Ошибка: при поиске катета складывать квадраты известной стороны и гипотенузы. Обычно это происходит из-за механического повторения формулы без выражения неизвестной величины. Запишите c² = a² + b² и перенесите квадрат известного катета: для второго получится разность c² − b².
Ошибка: забыть возвести длины в квадрат или остановиться на равенстве для квадрата искомой стороны. Это случается, если пропустить один из шагов вычисления. Проверьте, что все стороны в формуле возведены в квадрат, а в конце из квадрата длины извлечён корень.
Ошибка: принять всё основание равнобедренного треугольника за катет после проведения высоты. Высота делит основание на две равные части, и в прямоугольном треугольнике участвует только одна такая часть. Перед вычислением разделите длину основания на два и лишь затем подставляйте её в теорему Пифагора.
Для этой темы нужно знать виды треугольников, признаки прямого угла и свойства равнобедренного треугольника. Также пригодятся формулы площади и правила работы со степенями и квадратными корнями. Без этих знаний трудно правильно выделить нужный треугольник и завершить вычисления.
Теорема Пифагора помогает решать задачи на диагонали, высоты, расстояния между точками и длины отрезков. Найденную высоту можно использовать для вычисления площади фигуры. Так одна геометрическая связь помогает переходить от неизвестной длины к другим характеристикам фигуры.
Позже этот приём встретится в координатной геометрии и стереометрии. На координатной плоскости разности координат становятся катетами, а в задачах о пространстве теорему применяют к подходящим прямоугольным треугольникам. Поэтому навык находить такой треугольник пригодится и в более сложных темах.
Как быстро определить, какая сторона является гипотенузой?
Найдите прямой угол: сторона, которая лежит напротив него и не образует его, — гипотенуза. Она также самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Почему при нахождении катета используется вычитание, а не сложение?
По теореме Пифагора c² = a² + b², где c — гипотенуза. Чтобы найти квадрат неизвестного катета, нужно из c² вычесть квадрат известного катета.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора действует только в прямоугольном треугольнике. В другом треугольнике сначала нужно найти или построить прямой угол, например провести высоту.
Как понять, какой прямоугольный треугольник нужно выделить в сложной фигуре?
Ищите стороны, которые перпендикулярны, и отрезок, соединяющий их концы: они могут образовать прямой угол и гипотенузу. Если такого треугольника сразу не видно, проведите вспомогательную высоту или диагональ.
Почему высота равнобедренного треугольника делит основание пополам?
В равнобедренном треугольнике высота к основанию образует два прямоугольных треугольника с равными гипотенузами и общим катетом. Эти треугольники равны, поэтому их части основания тоже равны.
§ 6. Применения теоремы Пифагора
