"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, если известны две другие, а обратная теорема помогает проверить, прямой ли угол в треугольнике с заданными сторонами. Чтобы не ошибиться в вычислениях, сначала определяют гипотенузу — сторону напротив прямого угла, — и только потом подставляют длины в формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. Обозначим катеты буквами a и b. Это название помогает отличить две стороны, которые образуют прямой угол и участвуют в формуле теоремы.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Обозначим её буквой c. Чтобы правильно использовать формулу, сначала находят прямой угол, а затем сторону напротив него: именно она будет гипотенузой.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b². В этой записи сравниваются не сами длины, а их квадраты. Формула нужна, чтобы найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если длины двух других известны.
Обратная теорема Пифагора позволяет установить, что треугольник прямоугольный: если квадрат его наибольшей стороны равен сумме квадратов двух остальных, то треугольник прямоугольный. Здесь сначала проверяют, какая сторона самая длинная, и только её квадрат сравнивают с суммой. Это помогает определить вид треугольника, даже если его углы не измерены.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив угла 90°, а катеты — напротив острых углов. Поскольку прямой угол больше каждого острого, против него расположена большая сторона. Поэтому гипотенуза длиннее каждого катета, а в теореме именно её квадрат сопоставляют с суммой квадратов катетов.
Чтобы увидеть, откуда берётся формула, опустим из вершины прямого угла высоту на гипотенузу. Она делит большой прямоугольный треугольник на два меньших. Каждый из них подобен исходному: у него есть прямой угол, а ещё один острый угол совпадает с острым углом большого треугольника. Малые треугольники также подобны друг другу, потому что имеют одинаковые углы.
Обозначим части гипотенузы через x и y, так что x + y = c. Из подобия треугольников получаются равенства a² = c · x и b² = c · y, если катет a соответствует отрезку x, а катет b — отрезку y. Например, первое равенство следует из пропорции соответствующих сторон: отношение катета a к гипотенузе c равно отношению отрезка x к катету a. После умножения на c · a получается a² = c · x.
Теперь сложим равенства для двух катетов: a² + b² = c · x + c · y. Вынесем общий множитель c: справа получится c · (x + y). Отрезки x и y вместе составляют всю гипотенузу, значит, x + y = c. Поэтому a² + b² = c · c = c², что и доказывает теорему Пифагора.
Для нахождения стороны выбирают формулу по тому, что известно. Если известны катеты, складывают их квадраты и извлекают корень; если известны гипотенуза и катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат катета. Обратная теорема решает другую задачу: по трём длинам проверяют, может ли треугольник быть прямоугольным. В обоих случаях важно правильно определить наибольшую сторону и выполнить вычисления с квадратами.
| Что известно | Какое соотношение использовать | Что можно найти |
|---|---|---|
| Два катета a и b | c² = a² + b² | Гипотенузу: c = √(a² + b²) |
| Гипотенуза c и один катет | Неизвестный катет² = c² − известный катет² | Неизвестный катет |
| Три стороны треугольника | Квадрат наибольшей стороны сравнить с суммой квадратов двух остальных | Можно ли считать треугольник прямоугольным |
| Проверка, является ли треугольник прямоугольным | Если c — наибольшая сторона, проверить c² = a² + b² | Наличие прямого угла по обратной теореме |
Сначала найди, какие стороны известны и какую величину требуется получить. Если задача не о прямоугольном треугольнике, формулу теоремы применять нельзя; при проверке по трём сторонам наибольшую длину ставь на место гипотенузы. После вычислений проверь, что найденная длина положительна и подходит к условию.
Условие. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Обозначим её c: поскольку известны оба катета, используем теорему Пифагора и извлекаем корень из суммы их квадратов.
Ответ: 5 см. Проверка показывает, что 5² действительно равно 3² + 4². Значит, найденная гипотенуза согласуется с теоремой.
Условие. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Гипотенуза — самая длинная сторона, поэтому неизвестный катет получим вычитанием квадратов, а не сложением.
Ответ: 12 см. Проверим результат: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13². Равенство выполняется, а найденная сторона меньше гипотенузы.
Условие. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Определите, является ли он прямоугольным. По обратной теореме нужно проверить квадрат наибольшей стороны, поэтому роль гипотенузы предполагаем для стороны 17 см.
Ответ: треугольник прямоугольный. Совпадение проверено для квадрата наибольшей стороны и суммы квадратов обеих оставшихся сторон. Именно такая проверка требуется для обратной теоремы.
Иногда гипотенузу путают с катетом и возводят в квадрат не ту сторону. Это происходит, когда сторону выбирают по её положению на чертеже, а не относительно прямого угла. Сначала отметь прямой угол и найди сторону напротив него; у неё должна быть наибольшая длина.
Другая ошибка — записать c = a² + b² вместо c² = a² + b². Так забывают, что теорема связывает квадраты длин, а не сами длины. Перед вычислениями перепиши формулу полностью и проверь размерность результата: длину гипотенузы находят только после извлечения квадратного корня.
При поиске катета иногда складывают квадраты гипотенузы и известного катета. Причина — механическая подстановка значений без предварительного выражения неизвестной величины. Запиши c² = a² + b² и перенеси квадрат известного катета вычитанием; затем убедись, что под корнем получилось положительное число.
При проверке прямоугольности могут поставить на место гипотенузы не самую длинную сторону или принять случайное совпадение за достаточное доказательство. Чтобы себя проверить, сначала упорядочь стороны по длине, затем сравни квадрат наибольшей с суммой квадратов двух оставшихся. Подставь все три заданные длины и проверь вычисления, а не только отдельные числа.
Для работы с теоремой нужно распознавать прямоугольный треугольник, различать катеты и гипотенузу, возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Эти действия связывают геометрию с вычислениями и помогают не перепутать длины сторон с их квадратами. Если любой из этих шагов вызывает затруднение, полезно сначала повторить его отдельно.
Теорема Пифагора помогает вычислять расстояния и диагонали, когда они образуют с другими отрезками прямоугольный треугольник. Она применяется и в задачах на координатной плоскости: разность координат по горизонтали и вертикали можно рассматривать как катеты. Такие вычисления также пригодятся при построении прямоугольных треугольников заданных размеров.
Почему гипотенуза всегда длиннее катетов?
В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Прямой угол больше каждого из двух острых углов, поэтому напротив него лежит самая длинная сторона — гипотенуза.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора действует только для прямоугольного треугольника. Для других треугольников это равенство в общем случае неверно.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из равенства c² = a² + b² вычти квадрат известного катета из квадрата гипотенузы. Затем извлеки квадратный корень: неизвестный катет равен √(c² − известный катет²).
Как проверить по трём сторонам, что треугольник прямоугольный?
Найди наибольшую сторону и возьми её за гипотенузу. Если квадрат её длины равен сумме квадратов двух остальных сторон, треугольник прямоугольный по обратной теореме Пифагора.
Что делать, если при вычислении длины стороны получается отрицательное число под корнем?
У действительной длины стороны не может быть отрицательный квадрат. Проверь, правильно ли выбрана гипотенуза и верно ли выполнено вычитание; возможно, заданные длины не могут быть сторонами такого прямоугольного треугольника.
§ 5. Теорема Пифагора
