"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Метрические соотношения связывают стороны прямоугольного треугольника с высотой, опущенной на гипотенузу, и отрезками, на которые она делит гипотенузу. Эти формулы помогают находить неизвестные длины, даже если в задаче не хватает данных для прямого применения теоремы Пифагора. Главное — правильно сопоставить катет с его проекцией и не забыть, что некоторые формулы содержат квадраты длин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называют катетами, а противоположную ему сторону — гипотенузой. Например, если прямой угол находится в вершине C, катетами будут AC и BC, а гипотенузой — AB. Такое обозначение помогает не перепутать, какие стороны участвуют в формулах.
Высота к гипотенузе — перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Если из C провести перпендикуляр CD к AB, точку D называют основанием высоты. Высота нужна, чтобы разделить большой треугольник на два меньших и связать длины отрезков между собой. В формулах её длину обозначают CD.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, на который катет «опускается» при перпендикулярном проектировании. Если катет AC, гипотенуза AB, а основание высоты D, проекцией AC будет AD; проекцией BC — DB. Это не сам катет, а часть гипотенузы. Понятие проекции нужно, чтобы верно подставлять отрезки в формулы.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — равенства, связывающие длины сторон, высоты к гипотенузе и проекций катетов. С их помощью можно находить неизвестную сторону или высоту по известным отрезкам. В этих равенствах встречаются квадраты длин и произведения отрезков. Поэтому важно различать длину и её квадрат.
Проведём высоту CD к гипотенузе AB в прямоугольном треугольнике ABC. Она образует два меньших прямоугольных треугольника: ACD и BCD. У каждого из них есть прямой угол, а ещё по одному острому углу, равному углу исходного треугольника. По признаку подобия по двум углам оба маленьких треугольника подобны исходному и друг другу. Именно подобие позволяет сравнивать соответствующие стороны и получать равенства их отношений.
Рассмотрим AC и его проекцию AD. Из подобия ABC и ACD соответствующие стороны дают равенство отношений AC/AB = AD/AC. Перемножив крайние и средние члены, получим AC² = AB · AD. Аналогично для второго катета получается BC² = AB · DB: у BC проекцией является именно DB. Значит, квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на соответствующую проекцию, а не на произвольный её отрезок.
У подобных треугольников ACD и BCD соответствующие стороны также пропорциональны: AD/CD = CD/DB. После перемножения членов пропорции выходит CD² = AD · DB. Так возникает соотношение для высоты: её квадрат равен произведению двух частей гипотенузы. Если известны обе части, можно найти высоту, извлекая квадратный корень из их произведения. Равенство объясняется тем же подобием, а не отдельным свойством высоты.
Основание высоты D лежит на гипотенузе между A и B, поэтому отрезки складываются: AD + DB = AB. Подставим это в формулы для квадратов катетов и сложим их: AC² + BC² = AB · AD + AB · DB = AB(AD + DB) = AB². Так из метрических соотношений следует теорема Пифагора. И наоборот, теорему Пифагора удобно использовать вместе с этими соотношениями, если для решения сначала нужно найти катет.
Выбор формулы зависит от того, какие длины уже известны и что требуется найти. Если известны гипотенуза и проекция нужного катета, используйте равенство для этого катета; если известны два отрезка гипотенузы — формулу для высоты. Когда в условии даны две стороны, но не проекции, сначала может понадобиться теорема Пифагора. После вычисления квадрата длины берите положительный квадратный корень, потому что длина отрезка не бывает отрицательной.
Обозначения в таблице относятся к прямоугольному треугольнику ABC, где прямой угол находится в C, а CD — высота к гипотенузе AB. Основание высоты D делит гипотенузу на отрезки AD и DB. Сначала найдите в таблице нужную связь, затем проверьте, совпадают ли обозначения в задаче с указанными.
| Что связывается | Обозначения | Соотношение |
|---|---|---|
| Катет и его проекция на гипотенузу | AC — катет, AB — гипотенуза, AD — проекция AC | AC² = AB · AD |
| Другой катет и его проекция на гипотенузу | BC — катет, DB — проекция BC | BC² = AB · DB |
| Высота к гипотенузе и отрезки гипотенузы | CD — высота, AD и DB — отрезки гипотенузы | CD² = AD · DB |
| Катеты и гипотенуза | AC и BC — катеты, AB — гипотенуза | AC² + BC² = AB² |
Например, чтобы найти AC, нужны AB и AD, а для BC — AB и DB. В последней строке нет проекций: это теорема Пифагора. Если получено значение квадрата длины, извлеките корень.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а проекция одного катета на неё — 9 см. Требуется найти этот катет. Обозначим катет через x, а его проекцию — p. Для такого набора данных подходит соотношение между квадратом катета, гипотенузой и его проекцией.
Ответ: катет равен 15 см. Проверка проста: квадрат найденного катета равен 225, как и произведение 25 · 9. Берём положительный корень, поскольку речь идёт о длине отрезка.
Высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 см и 9 см. Нужно найти высоту и всю гипотенузу. Здесь сразу известны оба множителя в формуле для высоты, а длина гипотенузы равна сумме её частей.
Ответ: высота равна 6 см, гипотенуза — 13 см. При проверке подставим значения в формулу: 6² = 4 · 9. Равенство выполняется.
Гипотенуза равна 20 см, один катет — 12 см. Требуется найти проекции обоих катетов и высоту к гипотенузе. Сначала найдём второй катет: без него нельзя сразу определить его проекцию. Обозначим гипотенузу AB, катеты AC = 12 см и BC, а высоту — CD.
Ответ: проекции равны 7,2 см и 12,8 см, высота — 9,6 см. Проверка показывает, что проекции в сумме дают гипотенузу. При вычислении корня берём положительную длину.
Ошибка: в формуле для катета вместо его проекции подставляют другой отрезок гипотенузы. Такое происходит, когда запомнили формулу, но не связали её части с чертежом. У катета AC проекция AD, потому что именно отрезок AD примыкает к точке A; у BC проекция DB. Проверьте соответствие по концу катета на гипотенузе.
Ошибка: забывают квадрат или не извлекают корень. Например, из равенства x² = 36 сразу записывают x = 36 либо оставляют ответ x² = 36, хотя спрашивали длину. Путаница возникает из-за того, что в формуле указано не само значение отрезка, а его квадрат. Подставьте найденную длину обратно: если её квадрат равен нужному произведению, вычисление согласуется с формулой.
Ошибка: неверно определяют, какой отрезок гипотенузы является проекцией данного катета. Иногда отрезки AD и DB воспринимают как взаимозаменяемые, хотя каждый относится к своему катету. Чтобы проверить себя, проследите, у какой вершины гипотенузы начинается катет: его проекция примыкает к этой вершине. Полезно сначала подписать основание высоты и все три отрезка на схеме.
Ошибка: метрические соотношения применяют к треугольнику без прямого угла. Формулы выведены для прямоугольного треугольника, высота к гипотенузе в них проводится из вершины прямого угла. Ошибку допускают, когда ориентируются только на похожие обозначения сторон. Перед вычислениями проверьте, что один угол действительно равен 90° и что рассматриваемая сторона является гипотенузой.
Для вывода метрических соотношений нужны признаки подобия треугольников: они объясняют, почему стороны большого и малых треугольников пропорциональны. Также требуется понимать, что перпендикуляр образует прямой угол. Теорема Пифагора связана с этими формулами и может применяться вместе с ними, например, чтобы найти второй катет до вычисления проекций.
Метрические соотношения помогают вычислять стороны, проекции и высоты в задачах о прямоугольном треугольнике. Позже они пригодятся при изучении тригонометрии: знание сторон и углов позволяет решать больше задач на прямоугольные треугольники. Поэтому важно уметь не только подставлять числа, но и выбирать подходящую формулу по условию.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Это отрезок гипотенузы, полученный перпендикулярным проектированием концов катета на прямую, содержащую гипотенузу. В прямоугольном треугольнике один конец катета уже лежит на гипотенузе, а другой проектируется на неё.
Почему высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники?
Каждый из двух меньших треугольников прямоугольный, потому что высота перпендикулярна гипотенузе. Кроме того, у каждого есть острый угол, равный соответствующему углу исходного треугольника. По двум равным углам треугольники подобны.
Как выбрать правильную проекцию в формуле для катета?
Нужно взять тот отрезок гипотенузы, который примыкает к концу данного катета на гипотенузе. Например, если катет AC соединяет точки A и C, а гипотенуза AB, его проекция — AD, где D — основание высоты.
Как найти высоту к гипотенузе, если известны отрезки гипотенузы?
Используйте формулу CD² = AD · DB, где AD и DB — части гипотенузы. Умножьте длины этих отрезков и извлеките квадратный корень: CD = √(AD · DB).
Когда использовать метрические соотношения, а когда теорему Пифагора?
Теорема Пифагора удобна, когда известны две стороны прямоугольного треугольника и нужно найти третью. Метрические соотношения применяют, когда в задаче даны или нужны проекции катетов либо высота к гипотенузе. Можно использовать обе группы формул, если решение требует нескольких шагов.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
