13.5. Архимед

Определения и обозначения

Число π — отношение длины окружности к её диаметру: π = C⁄d. Это значит, что любую длину окружности можно получить умножением диаметра на одно и то же число π. Размер окружности не меняет этого отношения.

Вписанный правильный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. Его стороны соединяют точки окружности хордами и как бы срезают дуги. Поэтому его периметр используют как приближённую длину окружности снизу.

Описанный правильный многоугольник — многоугольник, стороны которого касаются окружности. Такая фигура окружает окружность снаружи, поэтому её периметр больше длины окружности. Он нужен для получения верхней оценки.

Архимедовы границы для π — неравенство 3 10⁄71 < π < 3 1⁄7. Оно показывает, между какими двумя числами находится π, и получается сравнением периметров вписанных и описанных многоугольников с окружностью.

Как это устроено

Архимед не пытался измерить дугу непосредственно: для этого в древности не было удобных средств. Он заменил окружность многоугольниками, периметры которых складываются из прямых отрезков. Длины таких отрезков можно находить с помощью геометрии, в том числе теоремы Пифагора.

У вписанного многоугольника каждая сторона является хордой и соединяет концы дуги кратчайшим отрезком. Поэтому сторона меньше соответствующей дуги, а сумма всех сторон меньше длины окружности. Значит, периметр вписанного многоугольника даёт нижнюю границу.

Описанный многоугольник лежит снаружи окружности, а каждая его сторона касается окружности. На соответствующем участке сторона длиннее дуги, которую она ограничивает. Сумма таких сторон, то есть периметр, оказывается больше длины окружности и даёт верхнюю границу.

Сначала удобно взять правильный шестиугольник: он уже напоминает окружность, но заметные дуги остаются между его сторонами. Если каждую дугу разделить пополам, получится многоугольник с 12 сторонами, затем с 24, 48 и 96 сторонами. При этом вписанный периметр увеличивается, а описанный уменьшается.

Так промежуток между нижней и верхней оценками становится всё уже. Для многоугольников с 96 сторонами Архимед получил после геометрических вычислений неравенство 3 10⁄71 < π < 3 1⁄7. Этот результат был очень точным для своего времени и найден без калькуляторов и современных формул.

Как многоугольники ограничивают длину окружности

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите расположение многоугольника относительно окружности. Затем выберите нижнюю или верхнюю границу и сравните её с искомой длиной. Чем больше сторон, тем меньше ошибка такой оценки.

Разбор задач

Задача 1

Диаметр окружности равен 10 см. Нужно оценить её длину по границам Архимеда. Используем формулу C = πd и умножаем каждую границу для π на диаметр.

1. Нижняя оценка: C > 3 10⁄71 · 10 = 30 100⁄71 ≈ 31,408 см.
2. Верхняя оценка: C < 3 1⁄7 · 10 = 220⁄7 ≈ 31,429 см.
3. Объединяем результаты: 31,408 см < C < 31,429 см.

Ответ: длина окружности заключена примерно между 31,408 см и 31,429 см.

Задача 2

Периметр вписанного многоугольника равен 31,2 см, а описанного — 32 см. Вписанная фигура даёт значение снизу, потому что её стороны срезают дуги. Описанная фигура даёт значение сверху, потому что окружность находится внутри неё.

1. Записываем нижнюю границу: 31,2 см < C.
2. Записываем верхнюю границу: C < 32 см.
3. Соединяем неравенства: 31,2 см < C < 32 см.

Ответ: длина окружности больше 31,2 см, но меньше 32 см.

Задача 3

Диаметр окружности равен 14 см. Сравним архимедовы границы с приближением π ≈ 22⁄7. Сначала умножим все значения π на диаметр, поскольку длина окружности равна πd.

1. Архимедова нижняя оценка: 3 10⁄71 · 14 ≈ 43,9718 см.
2. Верхняя оценка: 3 1⁄7 · 14 = 44 см.
3. При π ≈ 22⁄7 получаем C ≈ 22⁄7 · 14 = 44 см, то есть результат совпадает с верхней границей.

Ответ: 22⁄7 даёт 44 см и немного завышает длину окружности, поскольку является приближением, большим π.

Типичные ошибки

Периметр вписанного многоугольника принимают за длину окружности. Ошибка возникает потому, что многоугольник визуально похож на окружность. Проверьте себя: его стороны — хорды, а хорда короче соответствующей дуги, значит периметр меньше.

Верхнюю и нижнюю оценки меняют местами. Часто запоминают только слово «вписанный», но забывают положение фигуры. Представьте окружность внутри описанного многоугольника: его периметр должен быть больше, поэтому он является верхней границей.

При переходе от π к длине окружности забывают диаметр. Тогда получается число, а не длина в сантиметрах. Сначала запишите формулу C = πd, а затем умножьте обе границы для π на d.

22⁄7 считают точным значением π. Это удобная дробь, близкая к π, но равенства π = 22⁄7 нет. Сравнение с границами показывает: 22⁄7 = 3 1⁄7 является верхней границей, а не самим π.

Связь с другими темами

Для понимания метода нужны определения окружности, диаметра и правильного многоугольника. Также необходимо различать вписанную и описанную фигуры: это определяет, будет периметр нижней или верхней границей.

Оценки Архимеда соединяют геометрию с вычислениями. Через периметры многоугольников геометрическое рассуждение приводит к приближённому значению π и формуле длины окружности C = πd.

Что запомнить

• Число π — отношение длины окружности к её диаметру.
• Периметр вписанного многоугольника меньше длины окружности.
• Периметр описанного многоугольника больше длины окружности.
• Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем точнее его периметр приближает длину окружности.
• Архимед доказал: 3 10⁄71 < π < 3 1⁄7.
• Число 22⁄7 — приближение π, а не точное значение.