3. Плоские и пространственные фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Множество может содержать одну точку или много точек: например, отдельная точка тоже считается фигурой, а прямая состоит из множества точек. Такое определение позволяет изучать самые разные объекты одним способом. Можно проверять, принадлежит ли выбранная точка фигуре.

Плоская фигура — фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Плоскость можно представить как ровную поверхность, которая продолжается во все стороны. Прямая, отрезок, угол и круг — примеры плоских фигур. Определение помогает понять, можно ли целиком расположить фигуру на одной плоскости.

Пространственная фигура — фигура, точки которой не все лежат в одной плоскости. Куб и шар — примеры таких фигур: часть их точек выходит за пределы любой одной плоскости. Это определение нужно, чтобы отличать объёмные тела от фигур, которые целиком находятся на плоской поверхности. При этом речь идёт о точках самого объекта, а не о его изображении.

Как это устроено

Если фигуру считать множеством точек, у каждой точки можно задать простой вопрос: принадлежит ли она этому множеству? Так, точка на отрезке принадлежит отрезку, а точка в стороне от него — нет. Этот взгляд нужен, потому что в геометрии важно точно указывать, какие именно точки рассматриваются. Он также объясняет, почему даже одна точка может быть самостоятельной фигурой.

Прямую, отрезок, угол и круг можно целиком поместить в одну плоскость. Прямая и отрезок целиком лежат на любой плоскости, в которой они заданы, а стороны угла и его область также можно расположить в ней. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, поэтому все его точки находятся в той же плоскости. Именно общая плоскость для всех точек служит признаком плоской фигуры.

Куб и шар занимают часть пространства и не помещаются целиком в одной плоскости. У куба точки разных граней находятся на разных уровнях относительно выбранной грани, а у шара точки распределены вокруг его центра. Поэтому невозможно подобрать одну плоскость, в которой лежали бы все точки каждого из этих тел. Так определяется пространственная фигура.

Один и тот же предмет можно описать в быту и с точки зрения геометрии. В быту говорят о материале, цвете, назначении предмета, а геометрия отвлекается от этих свойств и рассматривает форму и взаимное расположение точек. Например, куб может быть деревянным или пластиковым, но для геометрического рассуждения эти различия не важны. Такой подход помогает сравнивать формы предметов, не отвлекаясь на их внешний вид.

На странице учебника пространственную фигуру изображают плоскими линиями и пятнами, потому что лист бумаги плоский. Но рисунок — это способ показать объект, а не сам объект: у настоящего куба есть точки, не лежащие в одной плоскости. Поэтому по внешнему виду изображения нельзя решать, плоская фигура или пространственная. Нужно мысленно рассматривать точки изображённого объекта и проверять, укладываются ли они в одну плоскость.

Сравнение плоских и пространственных фигур

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала выясни, где расположены точки, а затем сделай вывод о фигуре. Примеры помогают свериться, но решающим остаётся не сходство с рисунком, а возможность поместить все точки в одну плоскость. Строка об изображении напоминает, что чертёж и сам объект — не одно и то же.

Разбор задач

Определить, какие из фигур — точка, отрезок, круг и куб — являются плоскими, а какие пространственными.

1. Для каждой фигуры задаём один вопрос: лежат ли все её точки в одной плоскости? Это проверка по определению, поэтому внешний вид названия или рисунка не влияет на ответ.
2. Точка плоская: через неё можно провести плоскость, содержащую эту точку. Отрезок и круг тоже плоские, поскольку каждый из них целиком лежит в некоторой плоскости.
3. Куб пространственный: его точки не все лежат в одной плоскости. Например, нельзя выбрать плоскость одной грани так, чтобы в ней находились также точки противоположной грани.

Ответ: точка, отрезок и круг — плоские фигуры, куб — пространственная фигура. В этом рассуждении важно проверять все точки фигуры, а не только её отдельную часть.

На рисунке изображён шар. Объяснить, почему сам шар — пространственная фигура, хотя его изображение находится на плоском листе.

1. Разделяем объект и его изображение: рисунок — следы карандаша на плоском листе, шар — тело, которое этим рисунком показывают. Один и тот же способ изображения может передавать свойства объекта, которых у самого листа нет.
2. Проверяем точки самого шара, а не точки рисунка. Точки шара распределены в пространстве вокруг центра и не могут все лежать в одной плоскости.
3. Делаем вывод по определению: шар — пространственная фигура, даже если его изображение нарисовано на плоскости. Плоским является изображение, но не изображённый объект.

Ответ: шар пространственный, потому что не все его точки лежат в одной плоскости; на листе находится только его плоское изображение.

Даны каркас куба и заполненный куб. Указать, какие точки принадлежат каждой фигуре, и определить, плоские они или пространственные.

1. Каркас образуют рёбра куба, поэтому ему принадлежат точки всех рёбер, включая вершины. Точки внутри граней и внутри всего тела, не лежащие на рёбрах, каркасу не принадлежат.
2. Заполненный куб включает точки внутри тела и точки на его границе, в том числе точки рёбер и вершин. Значит, множество его точек шире, чем множество точек каркаса.
3. Проверяем плоскостность каждой фигуры отдельно. Точки рёбер каркаса не все лежат в одной плоскости, и точки заполненного куба также нельзя целиком расположить в одной плоскости.

Ответ: каркас состоит из точек рёбер куба и является пространственной фигурой; заполненный куб включает внутренние точки и точки границы и тоже является пространственной фигурой. Различается состав точек, но не итоговая классификация.

Типичные ошибки

Ошибка — считать рисунок фигурой, которую он изображает. Её допускают, потому что на странице виден только плоский след карандаша, и легко принять его за сам объект. Проверка: отдельно назови точки рисунка и точки изображённого тела. Например, у шара на листе нарисована плоская картинка, но сам шар остаётся пространственным.

Ошибка — объявлять фигуру пространственной только потому, что она нарисована объёмно, с тенями или перспективой. Такой вид рисунка создаёт ощущение глубины, но не доказывает, что точки самой фигуры не лежат в одной плоскости. Проверка: мысленно убери оформление и примени определение к точкам объекта. Классификация зависит от их расположения, а не от способа рисования.

Ошибка — путать плоскую фигуру с плоскостью. Плоскость бесконечно продолжается во все стороны, а фигура может занимать лишь её часть: например, отрезок или круг. Путаница возникает из-за слова «плоская», которое описывает положение фигуры, а не её размер. Проверка: спроси себя, занимает ли объект всю плоскость или только некоторое множество точек внутри неё.

Ошибка — думать, что фигура обязательно должна быть сплошной или иметь контур. Обычно в примерах показывают линии и заполненные области, поэтому отдельную точку или набор несвязанных точек можно не принять за фигуру. Но фигура — любое множество точек, в том числе состоящее из одной точки. Проверка: если задан набор точек, он уже может рассматриваться как геометрическая фигура.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны понятия точки и плоскости. Точка помогает описывать, из чего состоит фигура, а плоскость — проверять, является ли она плоской. На чертеже плоскость обычно изображают частью параллелограмма, хотя мысленно её продолжают за границы рисунка. Поэтому важно отличать условное изображение плоскости от её геометрического смысла.

Различение плоских и пространственных фигур пригодится при изучении многоугольников и тел. Многоугольники рассматривают как плоские фигуры, а куб и другие объёмные объекты — как пространственные. При изображении тела на листе приходится передавать пространственную форму плоским чертежом. Знание различия помогает не путать чертёж и сам объект.

Представление фигуры как множества точек станет основой для рассуждений о принадлежности точки фигуре. В дальнейшем можно будет выяснять, лежит ли точка на прямой, внутри круга или на границе тела. Такой вопрос всегда сводится к тому, входит ли точка в рассматриваемое множество. Поэтому новое определение поддерживает дальнейшее изучение геометрии.

Что запомнить

• Геометрическая фигура — множество точек.
• Плоская фигура целиком лежит в одной плоскости.
• У пространственной фигуры не все точки лежат в одной плоскости.
• Рисунок пространственной фигуры на странице не становится плоской фигурой.
• Фигура может состоять из одной точки или из множества точек.