5. Плоскость, прямая, точка

Определения и обозначения

Точка — основной геометрический объект, у которого нет размера. На чертеже её показывают маленькой отметкой, а рядом ставят заглавную латинскую букву: A, B или C. Точки помогают обозначать отдельные места и задавать другие фигуры.

Прямая — бесконечная линия без толщины. На рисунке её изображают ровной линией, а обозначают строчной латинской буквой, например a. Также можно назвать прямую по двум точкам, лежащим на ней: прямая AB.

Плоскость — бесконечная ровная поверхность. На рисунке её условно изображают частью параллелограмма, а обозначают строчной греческой буквой, например α, или тремя точками, не лежащими на одной прямой: плоскость ABC. Такое обозначение позволяет понять, о какой плоскости идёт речь.

Принадлежность точки прямой или плоскости показывает, лежит ли точка на этой фигуре. Запись A ∈ a читают «точка A принадлежит прямой a», а A ∉ a — «точка A не принадлежит прямой a». Тот же смысл имеют записи с обозначением плоскости, например A ∈ α.

Как это устроено

Точку, прямую и плоскость называют исходными понятиями: геометрия использует их как основу для описания фигур. Их смысл можно пояснить образами: точка похожа на отметку на бумаге, прямая — на натянутую нить, плоскость — на ровную поверхность стола. Но эти образы не являются точными определениями: у отметки и нити есть размер, а поверхность стола конечна. Поэтому понятия принимают как начальные и используют, чтобы объяснять более сложные объекты.

На листе можно нарисовать лишь ограниченную часть прямой, поскольку у бумаги есть край. Сама геометрическая прямая не обрывается там, где заканчивается рисунок, а продолжается без конца в обе стороны. По той же причине плоскость на чертеже показывают только небольшим участком. Так различают объект геометрии и его изображение: рисунок помогает рассуждать, но не показывает объект целиком.

Через любые две различные точки можно провести прямую, и такая прямая будет только одна. Если бы существовали две разные прямые через эти точки, они проходили бы через одни и те же два места, хотя по правилу прямые либо совпадают, либо имеют не более одной общей точки. Значит, две точки однозначно задают прямую. Именно поэтому её можно обозначить буквами этих точек, например AB.

Прямая связывает точки, а плоскость объединяет точки и прямые, лежащие на ней. Если две точки прямой принадлежат плоскости, вся прямая между ними и за ними тоже лежит в этой плоскости. Иначе прямая должна была бы покинуть плоскость, а затем снова пересечь её, то есть иметь с ней дополнительные точки пересечения. Это свойство помогает устанавливать, где проходит прямая относительно плоскости.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Три такие точки задают её положение: можно представить, что через них натянули ровную поверхность. Условие о том, что точки не лежат на одной прямой, необходимо, потому что через одну прямую можно провести множество плоскостей, поворачивая их вокруг неё. Поэтому три точки на одной прямой не выбирают единственную плоскость.

Основные геометрические объекты и способы их обозначения

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать обозначение по типу объекта: точку называют заглавной буквой, а прямую — строчной или по двум точкам. Если нужно описать положение точки, поставь знак ∈ или ∉ и укажи прямую либо плоскость. Помни, что чертёж показывает только часть бесконечной прямой или плоскости.

Разбор задач

Точки A и B различны. Как обозначить прямую, проходящую через них, и сколько таких прямых существует?

1. Проверяем условие: точки A и B — разные, значит, речь идёт о двух различных точках.

2. Используем свойство: через любые две различные точки проходит единственная прямая.

3. Обозначаем её по лежащим на ней точкам — прямая AB. Других прямых, проходящих через обе точки, нет.

Ответ: прямая AB; существует ровно одна такая прямая.

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Как обозначить плоскость, проходящую через них, и сколько таких плоскостей существует?

1. Замечаем, что условие о неколлинеарности выполнено: точки не лежат на одной прямой.

2. Применяем свойство: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

3. Называем плоскость по трём точкам — плоскость ABC. Такое обозначение указывает, какие точки задают её.

Ответ: плоскость ABC; существует ровно одна такая плоскость.

Прямая a проходит через точки A и B, а обе точки принадлежат плоскости α. Что можно заключить о прямой a?

1. Записываем данные: A ∈ a, B ∈ a, A ∈ α и B ∈ α. Значит, две точки прямой a лежат в плоскости α.

2. Применяем свойство: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся эта прямая принадлежит плоскости.

3. Делаем вывод не только об отдельных точках A и B, но и обо всех точках прямой a.

Ответ: прямая a целиком лежит в плоскости α.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что прямая заканчивается у края листа. Так кажется, потому что на чертеже помещается лишь её часть, но линия в геометрической модели продолжается неограниченно. Проверяй себя: если речь идёт о прямой, а не об отрезке, у неё нет концов. Край рисунка не является концом геометрического объекта.

Ошибка — утверждать, что любые три точки задают единственную плоскость. Это верно только тогда, когда точки не лежат на одной прямой; при совпадении с одной прямой через неё проходит много плоскостей. Перед выводом проверь условие задачи: есть ли точки, не лежащие на одной прямой? Если нет, единственность плоскости не установлена.

Ошибка — обозначать точку строчной буквой, а прямую заглавной. Путаница возникает потому, что и точка, и прямая могут быть названы буквами, но для них приняты разные способы записи. Проверь обозначение: точка обычно называется заглавной латинской буквой, например A, прямая — строчной, например a. Прямую также можно обозначить двумя точками на ней: AB.

Ошибка — думать, что одной точки достаточно, чтобы однозначно задать прямую или плоскость. Через одну точку можно провести много прямых, а плоскость тоже нельзя определить единственным образом только по ней. Для прямой нужны две различные точки, для плоскости — три точки, не лежащие на одной прямой. Проверяй, хватает ли данных именно для единственного выбора фигуры.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь отмечать точки и проводить линии на чертеже. Ещё нужно различать геометрическую фигуру и её изображение: рисунок ограничен краями листа, а сама прямая или плоскость может продолжаться дальше. Это различие помогает правильно читать чертежи и не принимать условное изображение за весь объект.

Понятия точки, прямой и плоскости пригодятся при изучении их взаимного расположения. На них основываются построение чертежей и обоснование геометрических утверждений: например, чтобы сделать вывод о прямой в плоскости, используют положение двух её точек. Поэтому точные обозначения и понимание принадлежности нужны во многих следующих темах.

Что запомнить

• Точка, прямая и плоскость — исходные геометрические понятия.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Прямые и плоскости на чертеже изображают лишь частично.
• Точки обозначают заглавными латинскими буквами, прямые — строчными латинскими.