5.1. Определения и некоторые свойства круглых фигур

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние не меняется, какую бы точку окружности мы ни выбрали. Определение помогает отличить окружность от любой другой замкнутой линии.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Если окружность — только граница, то круг включает также все точки внутри неё. Это различие нужно, чтобы точно говорить о фигуре и её внутренней области.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Обычно радиус обозначают буквой r, а центр — буквой O; например, отрезок OA — радиус, если A лежит на окружности. Все радиусы одной окружности равны, поэтому достаточно знать длину одного из них.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — это отрезок с концами на окружности. Диаметр обозначают буквой d, и он равен двум радиусам: d = 2r. По диаметру можно найти радиус, разделив его длину пополам.

Как это устроено

Представим точку O и выбранное расстояние r. Отложим от O во всех направлениях ровно такое расстояние и отметим концы получившихся отрезков: все отмеченные точки образуют окружность. Ни одна точка ближе или дальше заданного расстояния в неё не попадёт. Поэтому центр и длина радиуса полностью задают окружность.

Окружность отвечает на вопрос, какие точки находятся на заданном расстоянии от центра, а круг — какие точки находятся на этом расстоянии или ближе. Это видно, если представить, что окружность нарисована тонкой линией: линия обозначает границу, а залитая внутренняя часть вместе с линией образует круг. Различие важно, например, когда спрашивают, принадлежит ли точка окружности или только кругу. Точка внутри круга не принадлежит окружности, потому что расстояние до центра у неё меньше радиуса.

У всех радиусов одной окружности один конец находится в центре, а другой — на окружности. По определению, расстояние от центра до каждой точки окружности одно и то же, поэтому и длины всех радиусов равны. Если заданы центр и радиус, положение любой точки окружности определяется условием «на расстоянии r от центра». Именно поэтому такая окружность единственная.

Диаметр — хорда, то есть отрезок с концами на окружности, который проходит через центр. Центр делит его на два отрезка, каждый из которых соединяет центр с точкой окружности, а значит является радиусом. Эти две части равны, поэтому весь диаметр вдвое длиннее радиуса: d = 2r. Например, при радиусе 4 см диаметр равен 8 см.

Если повернуть круг на 180° вокруг центра, каждая его точка перейдёт в точку на таком же расстоянии от центра, и круг совпадёт сам с собой. Это центральная симметрия относительно центра. Есть и осевая симметрия: при сгибании по любому диаметру половины круга совпадут. Причина в том, что точки по разные стороны от этой прямой попарно находятся на одинаковом расстоянии от неё.

Основные круглые фигуры и отрезки

Сначала определите, о каком объекте идёт речь: о границе, всей области или отдельном отрезке. Затем проверьте положение концов отрезка и его связь с центром. Последний столбец помогает быстро вспомнить свойство, нужное для решения задачи.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены центр O, точки A и B на окружности и точка C внутри круга. Нужно определить, какие точки принадлежат окружности, а какие — кругу, и назвать центр, радиус и диаметр. Предположим, что отрезок AB проходит через O. Для ответа используем определения, а не только внешний вид фигуры.

1. Точки A и B лежат на окружности, значит, они принадлежат и кругу, который включает свою границу.
2. Точка C находится внутри круга, но не на его границе, поэтому кругу она принадлежит, а окружности — нет.
3. Точка O — центр; OA — радиус, потому что соединяет центр с точкой окружности. AB — диаметр, так как его концы лежат на окружности, а сам отрезок проходит через O.

Ответ. Окружности принадлежат A и B; кругу принадлежат A, B и C. Центр — O, радиус — OA, диаметр — AB. Если отрезок не проходит через центр, называть его диаметром нельзя.

Задача 2. Радиус окружности равен 4,5 см. Найдите диаметр и проверьте, может ли отрезок длиной 8 см быть диаметром этой окружности. Сначала применим связь между радиусом и диаметром. Затем сравним полученную длину с длиной предложенного отрезка.

1. Используем формулу d = 2r, потому что диаметр состоит из двух равных радиусов.
2. Подставляем r = 4,5 см: d = 2 · 4,5 = 9 см.
3. Отрезок длиной 8 см короче найденного диаметра и не может быть диаметром этой окружности.

Ответ. Диаметр равен 9 см. Отрезок длиной 8 см диаметром этой окружности быть не может.

Задача 3. Даны две окружности с общим центром и радиусами 3 см и 7 см. Такие окружности называют концентрическими. Нужно описать их расположение и найти ширину кольцевой области между ними. Рассмотрим разность расстояний от общего центра до двух окружностей.

1. У окружностей общий центр, но разные радиусы, поэтому одна расположена внутри другой и они не пересекаются.
2. Кольцевая область лежит между меньшей и большей окружностями. По одному радиусу её внутренняя граница находится в 3 см от центра, а внешняя — в 7 см.
3. Находим ширину области: 7 − 3 = 4 см. Разность радиусов показывает расстояние между окружностями вдоль любого луча из центра.

Ответ. Окружности концентрические, одна находится внутри другой, а ширина кольцевой области равна 4 см.

Типичные ошибки

Окружность иногда называют кругом, потому что в повседневной речи слова смешивают. В геометрии окружность — граница, а круг включает также внутреннюю область. Проверьте себя вопросом: говорится о линии или обо всей заполненной фигуре?

Радиусом ошибочно считают отрезок от центра до любой точки внутри круга. Но его конец должен лежать именно на окружности, иначе длина отрезка меньше радиуса. Чтобы проверить, убедитесь, что один конец находится в центре, а второй — на границе.

При вычислениях путают d = r и d = 2r. Диаметр не равен радиусу: он состоит из двух радиусов по разные стороны от центра. Проверка простая: если известный радиус умножить на два, диаметр должен получиться длиннее.

Центром иногда называют любую точку внутри круга. Однако центр определяется не просто положением внутри фигуры, а равными расстояниями до всех точек окружности. Если выбранная точка этому условию не отвечает, она не является центром.

Связь с другими темами

Для работы с круглыми фигурами нужно уметь понимать, что такое точка, отрезок и расстояние, а также находить середину отрезка. Эти знания помогают правильно распознавать центр и радиус. Понятия окружности и круга понадобятся при построениях циркулем и изучении расположения прямой и окружности.

Радиус и диаметр встречаются в задачах на длины и площади круглых фигур. Координатное описание окружности тоже опирается на расстояние от каждой её точки до центра. Понимание симметрии помогает исследовать фигуры и выполнять их построения.

Что запомнить

• Окружность — граница круглой фигуры.
• Круг включает окружность и всю область внутри неё.
• Центр равноудалён от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
• Любой диаметр является осью симметрии круга.