Раздел 2. Изометрии и равенство фигур

Определения и обозначения

Изометрия — преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между любой парой точек. Иными словами, после такого преобразования любые два объекта остаются на том же расстоянии друг от друга. Это понятие нужно, чтобы описывать движения, при которых фигура не растягивается и не сжимается.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением так, чтобы соответствующие точки совпали. При этом совпадают все соответствующие стороны и углы, а не только некоторые элементы. Такое определение позволяет точно сравнивать фигуры, даже если они расположены по-разному.

Осевая симметрия — преобразование, при котором точка и её образ лежат на одном перпендикуляре к оси и находятся от неё на одинаковом расстоянии по разные стороны. Прямую называют осью симметрии. С помощью этого правила можно построить зеркальный образ точки или целой фигуры.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Вектор задаёт направление и длину перемещения, поэтому каждая точка проходит одинаковый путь. Это помогает строить образ фигуры без изменения её формы и размеров.

Как это устроено

Если расстояние между любой парой точек не меняется, то не меняются и длины всех отрезков фигуры: их концы просто переходят в другие точки на том же расстоянии. Угол можно рассматривать как часть треугольника, а его форма определяется длинами сторон. Поэтому сохранение расстояний приводит к сохранению углов, а вместе с ними — формы фигуры.

При движении фигура может оказаться в другом месте, повернуться или отразиться. Её ориентация тоже иногда меняется: после осевой симметрии порядок вершин по часовой стрелке становится противоположным. Но размеры и форма остаются прежними, потому что расстояния между всеми соответствующими точками сохранены.

Чтобы построить образ точки A при осевой симметрии относительно прямой l, сначала проводят из A перпендикуляр к l. Затем на продолжении этого перпендикуляра за осью откладывают отрезок такой же длины и получают точку A′. Проверка проста: l должна быть перпендикулярна AA′ и проходить через середину этого отрезка.

При параллельном переносе по вектору a из точки A строят точку A′ так, чтобы AA′ было равно вектору a по направлению и длине. Точно так же переносят каждую вершину фигуры, используя один и тот же вектор. Расстояние между двумя точками не меняется, потому что к обеим точкам добавляется одинаковое перемещение, а разность их координат остаётся прежней.

Равенство фигур удобно проверять наложением мысленно или с помощью движения. Если каждой точке первой фигуры соответствует точка второй и после движения они совпадают, то соответствующие стороны имеют одинаковые длины, а углы — одинаковые величины. Значит, совпадение фигур доказывает равенство всех их соответствующих элементов.

Сравнение преобразований плоскости

Сначала найдите в таблице объект, который задаёт нужное преобразование: прямую, вектор, центр или угол. Затем используйте правило построения образа точки и проверьте, какие свойства остались неизменными. Последняя строка помогает заранее понять, изменится ли направление обхода фигуры.

Разбор задач

Задача 1

Постройте образ точки A при осевой симметрии относительно прямой l. Нужно получить такую точку A′, чтобы исходная точка и её образ находились на одинаковом расстоянии от оси. Поэтому положение A′ определяется не произвольно, а сразу двумя условиями.

1. Проведите через A прямую, перпендикулярную l, и отметьте её пересечение с осью.
2. Измерьте расстояние от A до точки пересечения и отложите такое же расстояние по другую сторону оси.
3. Обозначьте полученную точку A′ и проверьте, что l перпендикулярна AA′ и делит этот отрезок пополам.

Ответ: точка A′ построена; она симметрична точке A относительно l.

Задача 2

Треугольник ABC перенесли на вектор a. Постройте образ треугольника и укажите, какие его стороны равны сторонам исходного. Один вектор должен применяться ко всем вершинам, иначе это уже не будет параллельным переносом. После построения сравнивают не положение вершин, а расстояния между соответствующими вершинами.

1. Из A, B и C отложите соответственно векторы, равные a, и получите A′, B′ и C′.
2. Соедините A′B′, B′C′ и C′A′, чтобы получить образ треугольника.
3. По сохранению расстояний установите равенства AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′; его стороны равны соответствующим сторонам ABC.

Задача 3

Фигура F движением совмещается с фигурой G. Требуется доказать равенство соответствующих сторон и углов и установить, равны ли фигуры. Само совмещение означает, что каждой точке F можно поставить в соответствие совпавшую с ней точку G. Так как движение сохраняет расстояния, из этого соответствия следуют равенства всех нужных элементов.

1. Сопоставьте вершины, которые после движения совпадают: A и A′, B и B′ и так далее.
2. Для каждой пары соответствующих сторон примените сохранение расстояний, например AB = A′B′.
3. Рассмотрите углы при соответствующих вершинах: их стороны переходят в соответствующие стороны, поэтому углы равны.

Ответ: фигуры F и G равны, потому что их можно совместить движением; соответствующие стороны и углы равны.

Типичные ошибки

Любое перемещение называют изометрией. Так ошибаются, когда не проверяют результат движения. Проверьте расстояния хотя бы между несколькими парами соответствующих точек: для изометрии они должны сохраняться для любых пар.

При осевой симметрии образ строят не по перпендикуляру или на глаз. Причина ошибки — представление о симметрии только как о похожем расположении. Проверьте два условия: ось перпендикулярна отрезку между точкой и образом и делит его пополам.

При переносе используют разные векторы для вершин. Иногда это происходит, если каждую вершину строят отдельно без сравнения направлений и длин. Соедините исходную и образ каждой вершины и убедитесь, что все получившиеся векторы равны одному и тому же вектору.

Фигуры считают равными по отдельным сторонам. Одинаковая длина одной или нескольких сторон ещё не гарантирует полного совпадения фигур. Проверьте, существует ли движение, совмещающее фигуры целиком и сопоставляющее все их соответствующие элементы.

Связь с другими темами

Для построений нужны навыки проведения перпендикуляра, работы с отрезками и углами. Координаты и векторы помогают точно описывать положение точек и направление переноса. Эти инструменты превращают геометрическое построение в последовательную проверку условий.

Понятие движения используется при изучении осевой и центральной симметрии, поворотов и параллельных переносов. Оно также помогает доказывать равенство треугольников и других фигур. Вместо сравнения рисунков «на глаз» можно найти преобразование, которое их совмещает.

Изометрии связывают обычную геометрию с координатным методом. В координатах перенос задаётся прибавлением одного вектора, а сохранение расстояний проверяется по формулам. Так геометрическое свойство получает точное алгебраическое объяснение.

Что запомнить

• Изометрия сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• Движение сохраняет длины отрезков и величины углов.
• При осевой симметрии ось перпендикулярна отрезку, соединяющему точку с её образом, и делит его пополам.
• При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Равные фигуры можно совместить движением.
• Совмещение фигур позволяет сопоставить их соответствующие точки, стороны и углы.