"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Окружность — линия, все точки которой одинаково удалены от центра, а круг включает и эту линию, и внутреннюю область. Чтобы описывать их размеры, используют длину окружности и площадь круга. Главная постоянная в формулах — число π: оно связывает длину окружности с диаметром. Зная радиус или диаметр, можно найти длину всей окружности, длину её дуги, площадь круга и площадь сектора — части круга, ограниченной двумя радиусами и дугой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина окружности — это длина замкнутой линии, образующей окружность; её обычно обозначают буквой C. Представьте, что окружность распрямили в отрезок: длина этого отрезка и есть C. Эта величина нужна, когда требуется измерить путь по границе круга, например длину круговой дорожки.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру: π = C / d. Для любой окружности оно приблизительно равно 3,14, хотя в точных вычислениях π не заменяют округлённым числом. Это отношение позволяет связать измеряемую длину с радиусом или диаметром и получить общую формулу для окружностей разного размера.
Площадь круга — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает круг; её обозначают S. Круг состоит из всех точек внутри окружности и точек самой окружности. Площадь нужна, чтобы измерять поверхность круглого предмета, например крышки или площадки, а не только его границу.
Длина дуги окружности — длина части окружности между двумя её точками. Её значение зависит от радиуса окружности и от центрального угла α, то есть угла с вершиной в центре, стороны которого проходят через концы дуги. Чем больше угол при одном и том же радиусе, тем большую долю окружности составляет дуга; это позволяет найти её длину через длину всей окружности.
Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей, потому что любые две окружности подобны. Если одну окружность увеличить в несколько раз, её диаметр и длина увеличатся во столько же раз: все линейные размеры меняются пропорционально. Поэтому частное C / d не зависит от размера окружности. Это постоянное отношение обозначают π, и его приближённое значение равно 3,14.
Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому d = 2R. Из определения числа π получаем C / d = π, а значит C = πd; подставляя d = 2R, получаем C = 2πR. Эти записи равносильны, просто в одной используется диаметр, а в другой — радиус. Выбирайте ту, для которой сразу известны данные из условия, чтобы не делать лишний шаг и не перепутать величины.
Дуга с центральным углом α составляет такую же долю окружности, какую угол α составляет от полного оборота 360°. Например, угол 90° — четверть полного угла, поэтому соответствующая дуга равна четверти окружности. В общем случае доля дуги равна α / 360°, и её длина находится умножением этой доли на C. Так получается формула l = (α / 360°) · 2πR, где l — длина дуги.
Формулу площади круга можно понять, если разрезать его на множество очень узких секторов и расположить их попеременно вершинами вверх и вниз. Чем уже секторы, тем больше получившаяся фигура похожа на прямоугольник. Его высота равна радиусу R, а основание — примерно половине длины окружности, то есть C / 2 = πR. Поэтому площадь круга равна произведению основания на высоту: S = πR · R = πR².
Площадь сектора, как и длина дуги, определяется долей полного оборота, соответствующей центральному углу. Если угол равен α, то сектор занимает α / 360° площади всего круга. Умножаем площадь круга πR² на эту долю и получаем Sсектора = (α / 360°) · πR². Например, при угле 180° сектор занимает половину круга, потому что 180° составляет половину от 360°.
| Величина | Обозначение | Формула | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Длина окружности | C | C = 2πR = πd | мм, см, м и другие единицы длины |
| Длина дуги при центральном угле α | l | l = (α / 360°) · 2πR | мм, см, м и другие единицы длины |
| Площадь круга | S | S = πR² | мм², см², м² и другие квадратные единицы |
| Площадь сектора при центральном угле α | Sсектора | Sсектора = (α / 360°) · πR² | мм², см², м² и другие квадратные единицы |
Перед выбором формулы определите, ищете вы длину или площадь, и проверьте, что обозначено в условии — радиус или диаметр. Для дуги и сектора дополнительно нужна доля α / 360°. Единицы в ответе также подскажут, верно ли выбрана формула: у длины нет квадрата, у площади он есть.
Радиус окружности равен 5 см. Найдите её длину. Здесь дана величина R, поэтому удобно сразу применить формулу C = 2πR. Ответ оставим через π, чтобы не терять точность при округлении.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см. Результат измеряется в сантиметрах, поскольку мы нашли длину, а не площадь.
Найдите длину дуги окружности радиуса 12 см, если её центральный угол равен 45°. Полный круг соответствует 360°, поэтому дуга занимает долю 45 / 360 = 1 / 8 окружности. Сначала можно найти всю длину окружности, а затем взять её восьмую часть.
Ответ: 3π см, или приблизительно 9,42 см. Полученная дуга короче всей окружности, что согласуется с тем, что угол 45° меньше полного угла.
Радиус круга равен 10 см. Найдите площадь сектора, соответствующего центральному углу 72°. Угол 72° составляет 72 / 360 = 1 / 5 полного угла, значит сектор занимает пятую часть круга. Чтобы найти его площадь, сначала вычислим площадь всего круга.
Ответ: 20π см², или приблизительно 62,8 см². Квадратные сантиметры указаны потому, что искали площадь, а не длину дуги.
Подставляют диаметр вместо радиуса в формулу C = 2πR или S = πR². Обычно путают обозначения, потому что обе величины относятся к размеру окружности; проверьте условие и помните, что d = 2R. Если известен диаметр, для длины используйте C = πd, а для площади сначала найдите R = d / 2.
Забывают возвести радиус в квадрат при вычислении площади и записывают πR вместо πR². Такая ошибка возникает, когда формулу площади смешивают с формулами длины. Проверьте степень радиуса и единицы: площадь должна быть выражена в квадратных единицах, например см².
Делят угол на 180° при нахождении дуги или сектора. Так поступают, перенося правило для развёрнутого угла, но доля полного круга определяется полным углом 360°. Для проверки мысленно подставьте α = 360°: доля должна оказаться равной единице, а дуга и сектор — всему кругу.
Записывают длину в квадратных единицах или площадь в обычных единицах длины. Причина — невнимательная проверка ответа после вычислений. Сверьте искомую величину с размерностью: C и l измеряют в см или м, а S и площадь сектора — в см² или м².
Для работы с окружностью нужны знакомые понятия радиуса, диаметра, центрального угла и пропорции. Доля α / 360° — это отношение части полного круга к целому, поэтому она одинаково помогает находить и длину дуги, и площадь сектора. Формулы применяются в задачах о движении по круговой траектории и вычислении поверхностей круглых предметов. Эта тема также подготавливает к тригонометрии и изучению измерения углов в радианах.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это замкнутая линия, точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — вся часть плоскости внутри этой линии вместе с самой окружностью.
Почему число π одинаково для любой окружности?
У подобных окружностей все линейные размеры увеличиваются в одинаковое число раз. Поэтому длина окружности и её диаметр изменяются пропорционально, а отношение C / d остаётся неизменным и равно π.
Когда в формуле длины окружности удобнее использовать диаметр?
Формулу C = πd удобно применять, когда в условии дан диаметр и радиус искать не требуется. Если дан радиус, можно сразу использовать C = 2πR.
Как найти длину дуги, если известны радиус и центральный угол?
Сначала найдите длину всей окружности по формуле C = 2πR. Затем умножьте её на долю угла от полного оборота: l = (α / 360°) · 2πR.
Почему при вычислении площади круга радиус возводят в квадрат?
Площадь измеряет двумерную величину: при увеличении всех линейных размеров в несколько раз площадь возрастает в квадрат этого числа раз. Поэтому в формуле площади круга стоит R², а не просто R.
§ 7. Длина окружности. Площадь круга
