"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Правильный n-угольник — выпуклая фигура с равными сторонами и углами, вершины которой лежат на одной окружности. Такие фигуры используют в задачах о площадях, окружностях и симметрии. Чтобы построить правильный n-угольник, окружность делят на n равных дуг: каждой соответствует центральный угол 360°/n. Зная радиус окружности, можно найти сторону многоугольника, а построение часто начинают с треугольника, квадрата или шестиугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный n-угольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Буква n обозначает число его сторон и вершин. Равенство сторон без равенства углов ещё не делает фигуру правильной. Это определение помогает проверить, получилась ли нужная фигура после построения.
Центральный угол правильного n-угольника — угол с вершиной в центре описанной окружности, который опирается на одну сторону. Описанной называют окружность, проходящую через все вершины многоугольника. Центральный угол показывает, какую часть окружности занимает одна сторона. По нему удобно размечать положения вершин.
Апофема правильного n-угольника — перпендикуляр, проведённый из центра описанной окружности к его стороне. Перпендикуляр попадает в середину стороны, поскольку треугольники, образованные радиусами к концам стороны, равны. Апофему обозначают r, а радиус описанной окружности — R. Эти отрезки нужны, чтобы связывать геометрию фигуры с её размерами.
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон правильного многоугольника. Её центр совпадает с центром описанной окружности, а её радиус равен апофеме. Поэтому апофема показывает расстояние от центра фигуры до каждой стороны. Это расстояние используют, например, при вычислении площади правильного многоугольника.
Почему вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности? Проведём из вершин перпендикуляры к серединам сторон. Из-за равенства сторон и углов получаются равные треугольники, поэтому расстояния от их общей точки до всех вершин одинаковы. Точка, равноудалённая от вершин, становится центром описанной окружности. Значит, все вершины можно отметить на окружности с одним радиусом.
Равным сторонам правильного многоугольника соответствуют равные центральные углы. Стороны являются хордами одной окружности, а равные хорды стягивают равные дуги. Центральный угол, опирающийся на дугу, имеет ту же меру, что и дуга. Поэтому углы между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равны.
Полный угол вокруг центра равен 360°. В правильном n-угольнике он разделён на n одинаковых центральных углов, поскольку все стороны и соответствующие дуги равны. Следовательно, один такой угол равен 360°/n. Например, для восьмиугольника получаем 360°/8 = 45°. Это значение задаёт размер каждого шага при разметке окружности.
Чтобы построить многоугольник по заданной окружности, сначала выбирают начальную точку на ней, а затем размечают равные дуги. Можно построить центральный угол 360°/n и переносить его вершину вокруг центра либо откладывать циркулем хорды нужной длины. Полученные точки соединяют по порядку прямыми отрезками. Если окружность разделена на n равных дуг, стороны будут равны, а симметрия построения обеспечит равенство углов.
Некоторые фигуры строятся особенно просто благодаря удобным углам и хордам. Для равностороннего треугольника размечают три дуги по 120°, для квадрата — четыре по 90°. У правильного шестиугольника сторона равна радиусу окружности, поэтому достаточно последовательно откладывать радиус циркулем. Чтобы получить восьмиугольник из квадрата или двенадцатиугольник из шестиугольника, делят пополам дуги между соседними вершинами: новые точки становятся вершинами увеличенного многоугольника.
Сторона правильного n-угольника — хорда, стягивающая центральный угол 360°/n. Если соединить её концы с центром, получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами R. Высота к стороне делит его пополам, а половина центрального угла равна 180°/n. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует a/2 = R sin(180°/n), то есть a = 2R sin(180°/n). Для апофемы косинус даёт r = R cos(180°/n).
| Фигура или случай | Центральный угол | Связь стороны с радиусом | Основной способ построения |
|---|---|---|---|
| Правильный треугольник | 120° | a = √3R | Разделить окружность на три равные дуги |
| Квадрат | 90° | a = R√2 | Провести два перпендикулярных диаметра |
| Правильный шестиугольник | 60° | a = R | Последовательно отложить радиус как хорду |
| Правильный восьмиугольник | 45° | a = R√(2 − √2) | Разделить дуги квадрата пополам |
| Правильный двенадцатиугольник | 30° | a = R(√6 − √2)/2 | Разделить дуги шестиугольника пополам |
| Правильный n-угольник | 360°/n | a = 2R sin(180°/n) | Разметить n равных дуг или хорд |
Сначала найдите строку с нужной фигурой и прочитайте величину центрального угла: она показывает, на какие части делится окружность. Связь стороны с радиусом позволяет вычислить длину стороны, если известен R. Последний столбец подсказывает, с какого построения начать.
Условие. Дана окружность с центром O. Требуется построить вписанный правильный шестиугольник. Поскольку сторона шестиугольника равна радиусу окружности, не нужно заранее вычислять длину хорды. Достаточно точно перенести радиус циркулем по окружности.
Ответ. Построен вписанный правильный шестиугольник. Проверка: при шести вершинах центральный угол равен 360°/6 = 60°, а хорда такого угла равна радиусу. Циркуль должен вернуться к начальной точке после шести шагов; заметное несовпадение указывает на неточность построения.
Условие. На окружности с центром O нужно построить правильный восьмиугольник. Его центральный угол равен 360°/8 = 45°, но удобнее не откладывать этот угол восемь раз. Квадрат уже делит окружность на четыре равные дуги, которые можно разделить пополам.
Ответ. Получен вписанный правильный восьмиугольник. Проверить разметку можно по центральным углам: каждый из восьми углов должен быть равен 45°. Биссектрисы обеспечивают точное деление дуг пополам, поэтому новые точки не зависят от приблизительного откладывания длины.
Условие. Дана окружность радиуса R. Нужно построить вписанный правильный двенадцатиугольник и найти длину его стороны. За основу возьмём правильный шестиугольник, у которого центральные углы по 60°. Деление каждой его дуги пополам даст двенадцать равных частей по 30°.
Ответ. Построен правильный двенадцатиугольник, длина его стороны равна R(√6 − √2)/2. Значение следует также из формулы a = 2R sin(180°/12). Приближённо это около 0,518R, что меньше радиуса, как и должно быть для хорды, стягивающей угол 30°.
Считать достаточным равенство сторон — ошибка: у выпуклого многоугольника равные стороны сами по себе не гарантируют равенства углов. Её допускают, потому что при построении часто сначала следят за длинами отрезков. Проверяйте ещё и равенство центральных углов или симметрию фигуры; у правильного n-угольника должны совпасть оба условия.
Подставлять 360°/(n−1) вместо 360°/n — значит разделить полный угол не на то число частей. Ошибку допускают, когда считают промежутки между вершинами, но забывают, что промежутков на замкнутой окружности тоже n. Проверьте результат: все центральные углы должны дать в сумме ровно 360°.
Неточное откладывание хорд или изменение раствора циркуля приводит к неодинаковым дугам. Причина часто в том, что циркуль случайно сдвигают или принимают приблизительную отметку за точную. Сохраняйте раствор и после последнего шага проверьте, возвращается ли построение к начальной точке; также сравните дуги и стороны.
Путать радиус описанной окружности с апофемой нельзя: первый соединяет центр с вершиной, вторая перпендикулярна стороне и попадает в её середину. Это происходит потому, что оба отрезка начинаются в центре. Проверьте конечную точку и направление: радиус приходит в вершину, а апофема — на сторону под прямым углом.
Для построений нужны свойства окружности, центральных углов и хорд: именно они объясняют, почему равные дуги дают равные стороны. Деление дуг пополам связано с построением биссектрисы, а диаметры и перпендикуляры помогают размечать окружность. Позже правильные многоугольники встречаются в задачах о площадях и вписанных или описанных окружностях. Формула стороны через синус связывает геометрию с тригонометрией.
Почему равные стороны правильного многоугольника дают равные центральные углы?
Стороны правильного многоугольника — равные хорды одной окружности. Равным хордам соответствуют равные дуги, а значит, и равные центральные углы, опирающиеся на эти дуги.
Как построить правильный n-угольник, если известны центр и радиус окружности?
Сначала проводят окружность и строят центральный угол 360°/n. Затем его стороны отмечают на окружности и последовательно откладывают равные дуги или хорды, сохраняя раствор циркуля. Соединяют соседние отметки.
Почему сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности?
Центральный угол шестиугольника равен 360°/6 = 60°. Треугольник, образованный двумя радиусами и стороной, имеет два равных угла при основании, поэтому все его углы по 60°, а стороны равны.
Чем отличаются радиус описанной окружности и апофема?
Радиус описанной окружности соединяет её центр с вершиной многоугольника. Апофема — перпендикуляр от центра к стороне, то есть отрезок до середины стороны; она также является радиусом вписанной окружности.
Как из квадрата или шестиугольника получить правильный многоугольник с большим числом сторон?
Нужно разделить пополам дуги между соседними вершинами уже построенной фигуры. Из квадрата так получают правильный восьмиугольник, а из шестиугольника — правильный двенадцатиугольник.
О построении правильных n-угольников
