"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Правильный многоугольник — выпуклая фигура с равными сторонами и равными углами. У него есть общий центр вписанной и описанной окружностей, а расстояние от этого центра до стороны называют апофемой. Зная число сторон, можно найти центральный и внутренний углы, а по периметру и апофеме — площадь. Эти свойства помогают находить неизвестные элементы многоугольника и решать задачи, связанные с окружностями и площадями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком лежит внутри неё. Одного равенства сторон недостаточно: равными должны быть и углы. Это определение помогает отличить правильные многоугольники от других фигур с одинаковыми сторонами.
Центр правильного многоугольника — общая точка центров описанной и вписанной окружностей. Она равноудалена от всех вершин и от всех сторон многоугольника. Описанная окружность проходит через вершины, а вписанная касается каждой стороны. Центр нужен, чтобы находить радиусы и углы, а также строить разбиение многоугольника на одинаковые части.
Центральный угол правильного многоугольника — угол с вершиной в его центре, стороны которого проходят через две соседние вершины. Он соответствует одной стороне и одной дуге описанной окружности. Зная центральный угол, удобно определять форму треугольников, на которые можно разбить многоугольник. В правильном n-угольнике таких углов столько же, сколько сторон.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону, и его длина. Точка, в которой перпендикуляр пересекает сторону, является её серединой. Апофема показывает расстояние от центра до стороны и служит высотой треугольников, из которых складывается многоугольник. Обычно её обозначают буквой r.
У правильного многоугольника можно провести описанную окружность, проходящую через все вершины, и вписанную, касающуюся всех сторон. Почему у них общий центр? Равные углы и стороны задают одинаковые треугольники, если соединить центр с вершинами и серединами сторон. Их равенство означает, что расстояния от центра до всех вершин одинаковы, а перпендикулярные расстояния до сторон также одинаковы. Поэтому одна точка подходит как центр обеих окружностей.
Соединим центр правильного n-угольника со всеми вершинами. Многоугольник разобьётся на n равных равнобедренных треугольников: их боковые стороны — радиусы описанной окружности, а основания — стороны многоугольника. Угол при вершине каждого такого треугольника — центральный. Все центральные углы вместе составляют полный угол вокруг центра, то есть 360°. Поэтому величина одного угла равна 360°/n.
Сумма внутренних углов n-угольника равна 180°(n − 2): из одной вершины выпуклый многоугольник можно разделить на n − 2 треугольника, у каждого сумма углов 180°. В правильном многоугольнике все внутренние углы одинаковы, поэтому сумму делим на n и получаем 180°(n − 2)/n. Внутренний и внешний углы при одной вершине дополняют друг друга до 180°. Значит, внешний угол равен 180° − 180°(n − 2)/n = 360°/n.
Если соединить центр с концами одной стороны и опустить на эту сторону апофему, получится прямоугольный треугольник. Апофема делит сторону пополам, а гипотенузой служит радиус описанной окружности R. Если сторона равна a, то по теореме Пифагора R² = r² + (a/2)². Угол между радиусом к вершине и апофемой равен половине центрального угла, поэтому также a = 2R sin(180°/n), а r = R cos(180°/n).
Из центра можно провести отрезки к концам каждой стороны, и многоугольник распадётся на треугольники. Высота каждого треугольника, опущенная на сторону, равна апофеме r. Площадь одного такого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. При сложении площадей основания дают полный периметр P, а высота везде одна и та же. Поэтому площадь правильного многоугольника S = Pr/2.
| Величина или свойство | Формула | Что обозначает |
|---|---|---|
| Центральный угол | α = 360°/n | Угол между радиусами к соседним вершинам |
| Внутренний угол | β = 180°(n − 2)/n | Угол многоугольника при одной вершине |
| Внешний угол | γ = 360°/n | Угол между стороной и продолжением соседней стороны |
| Периметр | P = na | Сумма длин n одинаковых сторон длины a |
| Апофема и радиус описанной окружности | R² = r² + (a/2)²; a = 2R sin(180°/n); r = R cos(180°/n) | R — радиус описанной окружности, r — апофема |
| Площадь | S = Pr/2 | P — полный периметр, r — апофема |
В формулах n обозначает число сторон, a — длину стороны. Сначала определи, какая величина известна и какую нужно найти, затем выбери подходящую формулу. Не смешивай углы: центральный и внешний измеряются одинаково, но внутренний обычно имеет другую величину.
Найдите центральный угол и внутренний угол правильного восьмиугольника. У восьмиугольника n = 8, поэтому к каждому углу применяем свою формулу. Центральный угол показывает долю полного оборота, приходящуюся на одну сторону, а внутренний вычисляется через сумму углов многоугольника.
Ответ: центральный угол равен 45°, внутренний — 135°.
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен 5 см. Нужно найти сторону и апофему. Соединим центр с концами одной стороны: центральный угол равен 360°/6 = 60°, а треугольник с двумя радиусами и этой стороной равносторонний. Поэтому сторона равна радиусу, а апофема находится как высота равностороннего треугольника.
Ответ: сторона равна 5 см, апофема — 5√3/2 см.
Сторона правильного многоугольника равна 6 см, апофема — 4 см, число сторон — 10. Чтобы найти площадь, сначала нужен периметр: формула площади использует сумму длин всех сторон, а не длину одной стороны. Затем подставим периметр и апофему в формулу S = Pr/2.
Ответ: площадь многоугольника равна 120 см².
Ошибка: считать правильным любой многоугольник с равными сторонами. Равенство сторон не гарантирует равенства углов, поэтому, например, ромб с неодинаковыми углами не является правильным. Эту ошибку допускают, когда ориентируются только на длины сторон. Проверь себя: для правильности должны выполняться оба условия — равны все стороны и все углы.
Ошибка: путать центральный угол с внутренним. Центральный угол равен 360°/n, а внутренний — 180°(n − 2)/n, потому что первый делит полный оборот вокруг центра, а второй входит в сумму углов многоугольника. Эти величины могут быть разными. Проверь расчёт: внутренний и внешний углы при вершине должны в сумме давать 180°.
Ошибка: подставлять радиус описанной окружности вместо апофемы при вычислении площади. Радиус соединяет центр с вершиной, а апофема перпендикулярна стороне и является высотой треугольника. Путают их, потому что оба отрезка начинаются в центре. На рисунке или в условии проследи, куда направлен отрезок: к вершине или к стороне.
Ошибка: использовать в формуле площади длину одной стороны вместо периметра. Формула S = Pr/2 требует полного периметра, так как площадь складывается из треугольников над всеми сторонами. Ошибка часто возникает, если сразу подставить известную сторону. Перед вычислением найди P = na и проверь, что он действительно равен сумме длин всех сторон.
Для изучения правильных многоугольников пригодятся формула суммы внутренних углов, свойства равнобедренного треугольника и признаки равенства треугольников. Связь с окружностями помогает понимать радиусы, касание и перпендикуляр от центра к хорде: сторона многоугольника является хордой описанной окружности. Формулы для апофемы и площади применяются в задачах на длины окружностей, площади и тригонометрические соотношения. Поэтому свойства многоугольников объединяют несколько знакомых разделов геометрии.
Может ли многоугольник с равными сторонами быть неправильным?
Да. Равенства сторон недостаточно: правильный многоугольник должен иметь ещё и равные углы. Например, ромб с неодинаковыми углами имеет равные стороны, но не является правильным.
Почему центр вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника один и тот же?
Из-за равенства сторон и углов все вершины и стороны расположены симметрично относительно одной точки. Она равноудалена от вершин и от сторон, поэтому служит центром обеих окружностей.
Как найти внутренний угол правильного многоугольника, если известно число его сторон?
Если сторон n, сумма внутренних углов равна 180°(n − 2). У правильного многоугольника они равны, поэтому каждый внутренний угол равен 180°(n − 2)/n.
Чем апофема отличается от радиуса описанной окружности?
Апофема — перпендикулярное расстояние от центра до стороны. Радиус описанной окружности соединяет центр с вершиной многоугольника, поэтому эти отрезки имеют разные концы и обычно разные длины.
Как найти площадь правильного многоугольника, если известны его периметр и апофема?
Умножьте периметр P на апофему r и разделите произведение на 2: S = Pr/2. В формуле используется полный периметр, то есть сумма длин всех сторон.
§ 6. Правильные многоугольники и их свойства
