"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, поэтому его можно связать с двумя окружностями: описанной и вписанной. Их общий центр помогает разбить фигуру на равные треугольники и находить углы, стороны и площадь. В теме разбираются центральный угол, радиус описанной окружности и апофема, а также формулы для правильного n-угольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. Иначе говоря, фигура одновременно равносторонняя и равноугольная. Одного равенства сторон или одного равенства углов недостаточно. Это определение позволяет понять, почему свойства правильной фигуры одинаково работают для каждой её стороны и вершины.
Центр правильного многоугольника — общая точка центров вписанной и описанной окружностей. Описанная окружность проходит через все вершины, а вписанная касается всех сторон. Совпадение центров позволяет измерять расстояния до вершин и сторон от одной точки. Эту точку удобно использовать при разбиении многоугольника на треугольники.
Радиус описанной окружности обозначают R; это расстояние от центра правильного многоугольника до любой его вершины. Все такие расстояния равны, поскольку вершины лежат на одной окружности. Радиус нужен, чтобы находить размеры фигуры и строить прямоугольный треугольник с половиной стороны. Не путай его с расстоянием до стороны.
Апофема — расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны, измеренное по перпендикуляру. Она равна радиусу вписанной окружности и часто обозначается r. Перпендикуляр из центра к стороне попадает в её середину, поэтому апофема вместе с половиной стороны образует прямоугольный треугольник. Это помогает связывать площадь многоугольника с его периметром.
У правильного многоугольника можно провести окружность через все вершины: центры окружностей, описанных около треугольников с вершинами в соседних вершинах многоугольника, оказываются одной точкой благодаря симметрии равных сторон и углов. Эта точка равноудалена от вершин, поэтому становится центром описанной окружности. Перпендикуляры из неё к сторонам делят стороны пополам, а равные углы и стороны обеспечивают одинаковое расстояние до каждой стороны. Значит, из той же точки можно провести вписанную окружность, и центры окружностей совпадут.
Если соединить центр с двумя соседними вершинами, получится равнобедренный треугольник: его боковые стороны являются радиусами, а основание — стороной многоугольника. Все такие треугольники равны, потому что у многоугольника одинаковы стороны и углы, а радиусы равны. Поэтому центральные углы, расположенные вокруг центра, тоже равны. Их сумма составляет 360°, и для n равных углов получаем α = 360°/n.
Сумма внутренних углов n-угольника равна (n − 2)·180°, поэтому в правильном многоугольнике каждый из них равен β = (n − 2)·180°/n. Есть и связь с центральным углом: β = 180° − α. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами, углы у основания равны, а вместе с центральным дают 180°. Угол многоугольника складывается из двух таких углов у основания, что и объясняет эту связь.
Если провести апофему к стороне, она попадёт в её середину и образует прямой угол с этой стороной. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой R, катетами r и s/2, где s — сторона многоугольника. По теореме Пифагора R² = r² + (s/2)². Из этого соотношения можно находить неизвестный элемент, если известны два других.
Соединим центр со всеми вершинами: правильный многоугольник разобьётся на равные треугольники. Высота каждого такого треугольника к стороне равна апофеме, поэтому его площадь равна половине произведения стороны на апофему. Складывая площади треугольников, получаем половину апофемы, умноженную на сумму всех сторон. Эта сумма — периметр P, значит, S = ½Pr.
| Характеристика | Обозначение или формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Число сторон и вершин | n | Количество сторон и вершин фигуры |
| Периметр | P = ns | Сумму длин всех сторон; s — длина стороны |
| Центральный угол | α = 360°/n | Угол между радиусами к соседним вершинам |
| Внутренний угол | β = (n − 2)·180°/n | Угол внутри многоугольника при вершине |
| Радиус описанной окружности | R | Расстояние от центра до вершины |
| Апофема и радиус вписанной окружности | r | Расстояние от центра до стороны по перпендикуляру |
| Площадь | S = ½Pr | Площадь многоугольника через периметр и апофему |
В таблице n обозначает число сторон, а s — длину одной стороны; у правильного многоугольника все стороны одинаковы. Сначала определи, какие величины известны и что требуется найти, затем выбери соответствующую формулу. Если ищешь площадь, периметр можно вычислить как P = ns.
Условие: найдите центральный угол правильного восьмиугольника. Восьмиугольник имеет восемь сторон, поэтому вокруг его центра расположены восемь равных углов. Полный оборот вокруг точки равен 360°.
Ответ: центральный угол равен 45°.
Условие: найдите внутренний угол правильного десятиугольника. У правильной фигуры внутренние углы равны, поэтому сначала найдём их общую сумму. Для этого используем формулу суммы внутренних углов многоугольника.
Ответ: внутренний угол правильного десятиугольника равен 144°.
Условие: сторона правильного шестиугольника равна 8 см, апофема — 4√3 см. Нужно найти площадь. Поскольку известны апофема и длина каждой стороны, удобно применить формулу площади через периметр.
Ответ: площадь шестиугольника равна 96√3 см².
Ошибка — называть правильным любой равносторонний многоугольник или фигуру с равными углами. Так путают два отдельных свойства: правильность требует одновременно равенства сторон и углов. Проверь оба условия по определению, а не только длины сторон. Если одно из них не выполнено, многоугольник не является правильным.
Центральный угол иногда принимают за внутренний, потому что оба связаны с одной стороной. Центральный угол имеет вершину в центре окружности и образован радиусами, а внутренний расположен внутри многоугольника при его вершине. Сверься с вершиной угла и его сторонами. Для правильного n-угольника центральный угол равен 360°/n, а внутренний — (n − 2)·180°/n.
При вычислении центрального угла можно ошибочно разделить 360° на число диагоналей. Это происходит, когда вместо числа равных секторов вокруг центра берут другую характеристику многоугольника. Полный угол делят именно на число сторон n, поскольку каждой стороне соответствует один центральный угол. Проверь результат: все n углов вместе должны дать 360°.
Радиус описанной окружности и апофема — разные отрезки, хотя оба начинаются в центре. Радиус идёт к вершине, а апофема перпендикулярна стороне и заканчивается на ней, в её середине. Ошибку легко заметить по прямому углу: он есть между апофемой и стороной. На чертеже отмечай, к чему проведён каждый отрезок.
Для работы с правильными многоугольниками нужны знания о сумме внутренних углов, радиусе окружности и перпендикуляре. Связь апофемы с площадью опирается на формулу площади треугольника, а соотношение R² = r² + (s/2)² — на теорему Пифагора. Эти свойства помогают находить площади фигур и решать задачи о вписанных и описанных окружностях. Центральный угол и сторона многоугольника также используются в тригонометрии и вычислениях, связанных с окружностью.
Чем правильный многоугольник отличается от просто равностороннего?
У правильного многоугольника равны и все стороны, и все внутренние углы. У равностороннего многоугольника равенство сторон само по себе не гарантирует равенства углов.
Почему у правильного многоугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают?
Центр правильного многоугольника равноудалён от всех его вершин, поэтому через вершины можно провести описанную окружность. Он также равноудалён от всех сторон, поэтому служит центром вписанной окружности. Обе окружности имеют один центр.
Как вычислить центральный угол правильного многоугольника?
Нужно разделить полный угол вокруг центра, 360°, на число сторон n. Получится формула α = 360°/n.
Чем апофема отличается от радиуса описанной окружности?
Радиус описанной окружности идёт от центра к вершине многоугольника. Апофема — перпендикуляр от центра к стороне; она равна радиусу вписанной окружности.
Как найти площадь правильного многоугольника, если известны периметр и апофема?
Периметр умножают на апофему и делят результат пополам: S = ½Pa. Здесь P — периметр, а a — апофема.
§ 6. Правильные многоугольники и их свойства
