"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Площадь треугольника показывает, какую часть плоскости занимает эта фигура, и обозначается буквой S. Её можно найти разными способами: по основанию и высоте, двум сторонам и углу между ними, трём сторонам или радиусам окружностей. Выбор формулы зависит от того, какие величины известны. Разобравшись в связях между формулами, легче решать задачи и проверять, верно ли выбраны исходные данные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник; её обозначают S. Площадь помогает сравнивать фигуры и решать задачи, где нужно определить размер поверхности. Значение площади зависит от формы и размеров треугольника, поэтому для вычисления нужны подходящие данные.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону; длину высоты обозначают h. Перпендикуляр образует с основанием прямой угол, благодаря чему высоту можно использовать в формуле площади. Если треугольник тупоугольный, высота иногда проходит вне его, но её длина определяется так же.
Полупериметр треугольника — половина его периметра: p = (a + b + c) / 2, где a, b и c — длины сторон. Он нужен, в частности, для формулы Герона, которая позволяет вычислить площадь, если известны только три стороны. Буква p обозначает именно половину суммы сторон, а не весь периметр.
Вписанный и описанный радиусы — радиусы окружностей, соответственно вписанной в треугольник и описанной около него; их обозначают r и R. Вписанная окружность касается всех трёх сторон, а описанная проходит через все вершины. Эти радиусы позволяют выразить площадь через другие характеристики треугольника.
Если выбрать сторону треугольника за основание a и провести к ней высоту h, площадь равна S = ah / 2. Причина в том, что параллелограмм с таким же основанием и высотой имеет площадь ah. Диагональ делит его на два равных по площади треугольника, поэтому площадь одного из них вдвое меньше. При этом к выбранному основанию можно провести свою высоту, так что любую сторону разрешается использовать как основание.
Пусть известны две стороны a и b и угол γ между ними. Проведём высоту к стороне a: вместе со стороной b она образует прямоугольный треугольник, в котором sin γ = h / b, значит, h = b sin γ. Подставляя это выражение в S = ah / 2, получаем S = ab sin γ / 2. Именно поэтому в формуле нужен угол, заключённый между известными сторонами: он задаёт соответствующую высоту.
Когда известны три стороны, высоту найти напрямую бывает неудобно, поэтому используют формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Здесь p — полупериметр, а числа p − a, p − b и p − c учитывают, насколько каждая сторона меньше суммы половин сторон треугольника. Формула получается из выражения площади через две стороны и синус угла: синус заменяют выражением через стороны, используя теорему косинусов. Под корнем получается неотрицательное число, если данные стороны действительно образуют треугольник.
Если известны полупериметр p и радиус r вписанной окружности, площадь равна S = pr. Соединим центр окружности с вершинами: треугольник разобьётся на три меньших, и высота каждого к соответствующей стороне будет равна r, потому что радиус перпендикулярен касательной. Складывая их площади, получаем половину произведения r на сумму сторон, то есть pr. Для описанной окружности действует формула S = abc / (4R): она связывает стороны и площадь с радиусом окружности, проходящей через вершины, и следует из соотношения стороны треугольника с синусом противолежащего угла и радиусом R.
Формулу выбирают по исходным данным, а не по тому, какая запись кажется короче. Основание и высота подсказывают формулу S = ah / 2, две стороны с углом между ними — формулу с синусом, а три стороны — формулу Герона. Радиус вписанной окружности используют вместе с полупериметром, описанной — вместе с тремя сторонами. Перед вычислениями проверьте, что данные действительно подходят к выбранной формуле.
| Известные величины | Формула площади | Что важно проверить |
|---|---|---|
| Основание a и высота h | S = ah / 2 | Высота перпендикулярна прямой, содержащей основание |
| Две стороны a, b и угол γ между ними | S = ab sin γ / 2 | Угол должен быть заключён между известными сторонами |
| Три стороны a, b, c | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c) / 2 | Стороны должны образовывать треугольник |
| Стороны a, b, c и описанный радиус R | S = abc / (4R) | R — радиус описанной окружности |
| Полупериметр p и вписанный радиус r | S = pr | r — радиус вписанной окружности |
Сначала найдите в таблице строку, в которой перечислены все известные величины задачи. Затем проверьте условие в третьем столбце: оно помогает не перепутать угол или радиус и правильно выбрать высоту. Если подходящих данных для формулы пока нет, сначала найдите недостающую величину.
Задача 1. Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Найдите площадь. Даны основание и соответствующая ему высота, поэтому здесь не требуется искать угол или другие стороны. Выбираем формулу S = ah / 2 и подставляем известные значения.
Ответ: 30 см². Деление на 2 обязательно: произведение основания и высоты дало бы площадь параллелограмма, а треугольник с такими же основанием и высотой занимает половину этой площади.
Задача 2. Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь. Здесь известны две стороны и именно угол между ними, значит, удобно применить формулу S = ab sin γ / 2. Угол 30° имеет известное значение синуса: sin 30° = 1/2.
Ответ: 20 см². Важно, что заданный угол расположен между сторонами 8 см и 10 см; если бы был дан другой угол, эту подстановку нельзя было бы делать без дополнительных рассуждений.
Задача 3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь. Высота и углы не заданы, зато известны все три стороны, поэтому выбираем формулу Герона. Сначала нужно найти полупериметр, а затем разности полупериметра и каждой стороны.
Ответ: 84 см². Для самопроверки можно убедиться, что полупериметр больше каждой стороны и все множители под корнем положительны.
В формулу S = ab sin γ / 2 иногда подставляют угол, который не заключён между сторонами a и b. Это случается, когда в условии есть несколько углов и выбирают любой известный. Проверьте, сходятся ли обе стороны с вершиной этого угла: если нет, формулу применить к ним напрямую нельзя.
При вычислении по основанию и высоте могут забыть разделить произведение на 2. Так происходит из-за того, что формула напоминает площадь параллелограмма ah. Сверьтесь с формулой S = ah / 2 и оцените результат: треугольник не может иметь вдвое большую площадь, чем параллелограмм с теми же основанием и высотой.
В формуле Герона иногда используют периметр вместо полупериметра или ошибаются в разностях p − a, p − b, p − c. Причина часто в спешке при подстановке нескольких чисел. Сначала отдельно найдите p, подпишите его как половину периметра, а затем проверьте каждое вычитание; полупериметр должен быть больше каждой стороны.
За высоту могут принять отрезок, который не перпендикулярен основанию. Его длина не подходит для формулы S = ah / 2, даже если отрезок проведён из вершины к противоположной стороне. Проверьте прямой угол между высотой и прямой основания; если высота вышла за пределы треугольника, это допустимо, но перпендикулярность всё равно обязательна.
Для изучения формул площади полезно уметь находить площади прямоугольника и параллелограмма, проводить высоты и вычислять синусы известных углов. Эти знания объясняют, откуда берётся деление на 2 и как перейти от стороны к высоте. Формулы применяют в задачах, где требуется найти стороны, углы или радиусы окружностей, связанные с треугольником. Формула с описанным радиусом опирается на теорему синусов и связь сторон треугольника с радиусом описанной окружности.
Можно ли выбрать любую сторону треугольника в качестве основания?
Да, основанием может быть любая сторона. Но к выбранной стороне нужно взять высоту, проведённую именно к ней, то есть перпендикуляр к прямой, содержащей эту сторону.
Почему в формуле площади через две стороны нужен именно угол между ними?
Высота к одной из сторон выражается через другую сторону и синус угла между ними. Поэтому подстановка этой высоты в формулу площади даёт S = ab sin γ / 2. Другой угол треугольника не задаёт эту высоту напрямую.
Что делать, если проведённая высота находится вне треугольника?
Использовать её так же, как обычную высоту: высота — это перпендикуляр к прямой основания, а не обязательно отрезок внутри фигуры. В тупоугольном треугольнике она может лежать вне треугольника.
Как понять, какую формулу площади удобнее применить?
Посмотрите, какие данные уже известны. Для основания и высоты подходит S = ah / 2, для двух сторон и угла между ними — S = ab sin γ / 2, а для трёх сторон — формула Герона. Если даны радиусы окружностей, используйте S = pr или S = abc / (4R).
Почему в формуле Герона используется полупериметр, а не периметр?
Формула Герона выведена в виде произведения p и разностей p − a, p − b, p − c, где p — половина периметра. Если подставить вместо p периметр, изменятся все множители и получится неверный результат.
§ 5. Формулы для нахождения площади треугольника
