"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Площадь треугольника можно найти разными способами — выбор зависит от того, какие данные известны. Если есть основание и соответствующая высота, используют формулу S = ½ah. По двум сторонам и углу между ними площадь вычисляют через синус, а по трём сторонам — по формуле Герона. Во всех случаях результат показывает, сколько единиц площади занимает треугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, которую находят по основанию и проведённой к нему высоте. Если основание равно a, а соответствующая высота — h, то S = ½ah. Здесь S обозначает площадь, а произведение ah нужно разделить пополам. Эта формула пригодится, когда известны сторона и высота к ней.
Площадь через синус находят, если известны две стороны и угол между ними: S = ½ab sin γ. Буквами a и b обозначены стороны, а γ — заключённый между ними угол. Синус — тригонометрическая величина угла, которую можно вычислить по таблице или с помощью калькулятора. Такой способ позволяет обойтись без отдельно заданной высоты.
Полупериметр — половина периметра треугольника, то есть p = (a + b + c) / 2. Здесь a, b и c — длины всех трёх сторон, а p — их сумма, делённая на два. Полупериметр понадобится при использовании формулы Герона. Его находят до подстановки длин сторон в эту формулу.
Формула Герона позволяет вычислить площадь по трём сторонам: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Под знаком корня находятся полупериметр и три разности между ним и длинами сторон. Поэтому сначала нужно найти p, а затем аккуратно вычислить каждую разность. Формула удобна, когда высота и углы не заданы.
Формула S = ½ah связана с площадью параллелограмма. Представим параллелограмм с основанием a и высотой h: его площадь равна ah. Диагональ делит его на два равных по площади треугольника, поэтому на один треугольник приходится половина произведения основания на высоту. Отсюда и получается S = ½ah.
Если известны две стороны и угол между ними, высоту можно выразить через синус. Возьмём сторону b за основание, а сторону a — за наклонную сторону прямоугольного треугольника, который образуют высота и часть основания. Высота равна a sin γ, потому что синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Подставляя эту высоту в S = ½bh, получаем S = ½ab sin γ.
Та же формула работает, если γ — тупой угол. В таком случае перпендикуляр из вершины может попасть не на основание, а на его продолжение. Полученная высота всё равно выражается через длину стороны и синус угла, поскольку sin γ положителен для углов от 90° до 180°. Поэтому площадь при вычислении остаётся положительной.
В формуле Герона не нужно отдельно находить высоту или угол: используются только три стороны. Сначала из их суммы получают полупериметр p, а затем перемножают p, p − a, p − b и p − c. Корень из этого произведения и есть площадь треугольника. Такой порядок важен: подстановка периметра вместо полупериметра меняет результат.
Какую формулу выбрать, определяют известные данные. Если дана сторона и высота к ней, используйте S = ½ah; если даны две стороны и угол между ними — S = ½ab sin γ. Когда известны лишь три стороны, подходит формула Герона. Перед расчётами убедитесь, что стороны действительно могут образовать треугольник: сумма любых двух должна быть больше третьей.
| Известные данные | Формула | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Основание a и высота h к нему | S = ½ah | h — высота к стороне a |
| Стороны a и b и угол γ между ними | S = ½ab sin γ | γ — угол между сторонами a и b |
| Три стороны a, b, c | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | p = (a + b + c) / 2 — полупериметр |
Сначала найдите в первом столбце строку, которая соответствует данным задачи. Затем проверьте, что обозначения в формуле относятся именно к вашим сторонам, высоте или углу. Если среди данных только три стороны, сначала вычислите полупериметр.
Задача 1. Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Найдите площадь. Здесь известны основание и соответствующая ему высота, значит, можно сразу применить формулу S = ½ah. Важно, что высота проведена именно к стороне длиной 12 см.
Ответ: 30 см². Единица площади получается квадратной, потому что перемножаются длины, измеренные в сантиметрах.
Задача 2. Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь. Высота отдельно не дана, но она и не нужна: можно использовать формулу с синусом угла между известными сторонами. Для угла 30° синус равен ½.
Ответ: 20 см². В вычислении использован именно угол между сторонами 8 см и 10 см.
Задача 3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите его площадь. Высота и углы не указаны, зато известны все три стороны, поэтому подойдёт формула Герона. Сначала найдём полупериметр, затем по отдельности вычислим разности с длинами сторон.
Ответ: 84 см². Перед подстановкой можно проверить, что стороны образуют треугольник: сумма любых двух из них больше третьей.
В формуле S = ½ah иногда берут высоту, проведённую к другой стороне. Такое происходит, если перепутать соответствующие основание и высоту: формула требует именно высоту к выбранному основанию. Сопоставьте обозначения a и h с рисунком или условием задачи. Проверка проста: высота должна быть перпендикулярна стороне a или её продолжению.
При использовании формулы через синус могут подставить угол, который не заключён между известными сторонами. Возможно, ученик видит в условии несколько углов и выбирает любой из них, но высота выражается через синус именно угла между выбранными сторонами. Перед расчётом отметьте, какие стороны обозначены a и b. Убедитесь, что γ расположен между ними.
Ещё одна ошибка — забыть множитель ½ и принять произведение двух величин за площадь. Так бывает, если вспомнить часть формулы, но не учесть, что треугольник занимает половину соответствующего параллелограмма. После подстановки проверьте, что деление на два выполнено. Для формулы с синусом множитель ½ тоже обязателен.
В формуле Герона вместо полупериметра иногда подставляют периметр или неверно считают разности p − a, p − b, p − c. Причина обычно в том, что все вычисления делают сразу в уме. Сначала отдельно запишите p = (a + b + c) / 2, затем проверьте каждую разность. Если периметр не разделён пополам, формула применена неправильно.
Чтобы пользоваться формулой S = ½ah, нужно понимать, что такое основание и высота треугольника, а также уметь находить площадь прямоугольника. Для формулы через синус понадобятся значения синусов стандартных углов и понимание того, какой угол находится между сторонами. Эти знания помогают выбирать подходящий способ вычисления по условию задачи.
Формулы площади применяются не только в задачах, где нужно найти S. С их помощью можно определить неизвестную высоту, сторону или угол, если остальные данные известны. Они также используются в задачах на подобие и при вычислении площадей составных фигур, которые можно разделить на треугольники.
Какую высоту нужно брать в формуле площади треугольника?
Берут высоту, проведённую именно к выбранному основанию: она перпендикулярна этой стороне или её продолжению. Например, если основание обозначено a, в формуле S = ½ah нужна высота h к стороне a.
Как найти площадь, если известны две стороны и угол между ними?
Подставьте длины сторон a и b и угол γ между ними в формулу S = ½ab sin γ. Затем вычислите синус угла и выполните умножение.
Почему в формуле через синус берут угол именно между сторонами?
Синус этого угла помогает выразить высоту треугольника через одну из известных сторон. Если взять другой угол, он не будет соответствовать выбранной паре сторон, поэтому формула в таком виде неприменима.
Как найти площадь треугольника, если известны только три стороны?
Сначала найдите полупериметр p = (a + b + c) / 2. Затем подставьте его и длины сторон в формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Что делать, если угол треугольника тупой?
Формулу S = ½ab sin γ можно применять и для тупого угла: его синус положителен. Высота при этом может падать на продолжение стороны, а не на саму сторону.
§ 5. Формулы для нахождения площади треугольника
