Вневписанная окружность треугольника

Определения и обозначения

Вневписанная окружность треугольника — окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Её центр находится вне треугольника, потому что для касания продолжений прямых он лежит по другую сторону от соответствующих вершин. Такое название отличает её от вписанной окружности, расположенной внутри фигуры. По тому, какой стороне окружность касается, её называют противоположной соответствующей вершине.

Центр вневписанной окружности — точка пересечения внутренней биссектрисы одного угла треугольника и внешних биссектрис двух остальных. Биссектриса делит угол на две равные части, а внешняя биссектриса делит пополам угол, полученный при продолжении стороны. Это определение подсказывает, как построить центр циркулем и линейкой. Если окружность касается BC, внутренней будет биссектриса угла A.

Вневписанный радиус — расстояние от центра окружности до точки касания. Обозначим радиус окружности, противоположной вершине A, через rₐ; индекс напоминает, к какой вершине относится окружность. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой. Поэтому радиус можно находить как расстояние от центра до стороны, к которой окружность прикасается.

Обозначим площадь треугольника через S, а его полупериметр — через s, где s = (a + b + c)/2. Здесь a — длина BC, b — длина CA, c — длина AB. Для окружности, противоположной вершине A, площадь выражается формулой S = rₐ(s − a). Она связывает геометрический объект с измеримыми величинами и позволяет находить радиус, если известны стороны и площадь.

Как это устроено

Если точка равноудалена от двух пересекающихся прямых, перпендикуляры, опущенные на эти прямые, имеют одинаковую длину. Эти перпендикуляры вместе с отрезками прямых образуют прямоугольные треугольники. У них общая гипотенуза от вершины угла до точки, а катеты, являющиеся расстояниями до прямых, равны. Поэтому треугольники равны, и отрезок от вершины до точки делит угол пополам. Значит, множество точек, равноудалённых от прямых, лежит на биссектрисах углов между ними.

Чтобы получить центр окружности, касающейся BC и продолжений AB и AC, нужно выбрать точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Биссектриса угла A даёт равные расстояния до AB и AC, а внешняя биссектриса угла B — до BA и BC. Их пересечение подходит сразу для этих трёх условий и одновременно лежит на внешней биссектрисе угла C. Если провести из него перпендикуляры к прямым, их длины будут одинаковы. Окружность с таким центром и радиусом касается нужной стороны и продолжений двух других.

У треугольника три стороны, и любую из них можно выбрать стороной касания. Например, для BC берут внутреннюю биссектрису угла A, а для AB — внутреннюю биссектрису угла C. Каждый выбор задаёт своё сочетание одной внутренней и двух внешних биссектрис, то есть свой центр. Поэтому существуют три вневписанные окружности — по одной напротив каждой вершины.

Для окружности напротив вершины A радиусом rₐ служат расстояния до прямых AB, AC и BC. Площадь треугольника получается как площадь большого треугольника с вершиной в центре и основанием BC за вычетом частей, лежащих снаружи исходного треугольника. Во всех этих треугольниках высота равна rₐ, а после вычитания сумма оснований даёт s − a. Поэтому S = rₐ(s − a), откуда rₐ = S/(s − a). Для окружностей напротив B и C аналогично получаются формулы S = rᵦ(s − b) и S = r꜀(s − c).

Равенство касательных из одной точки помогает находить отрезки сторон. Для окружности, касающейся BC и продолжений AB и AC, обозначим отрезки от B и C до точек касания на BC через x и y. Тогда x + y = a, а из вершины A касательные равны, поэтому c + x = b + y. Решая систему, получаем x = s − c, y = s − b; длина каждой касательной из A равна s. Если продолжить вычисления, важно учитывать, где именно находится точка касания: на стороне или на её продолжении.

Центры и радиусы вписанной и вневписанных окружностей

Сначала найди в таблице окружность по вершине или стороне, к которой она должна прикасаться. Затем проверь, какие биссектрисы и касательные прямые ей соответствуют. В формуле площади буква стороны должна совпадать с индексом радиуса.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC найти центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений AB и AC. Нужно определить, какие углы образуют равные расстояния до этих прямых. Выбор стороны BC означает, что окружность противоположна вершине A.

1. Проведи внутреннюю биссектрису угла A. Точки на ней равноудалены от прямых AB и AC, поэтому окружность сможет касаться их продолжений на одинаковом расстоянии.
2. Проведи внешнюю биссектрису угла B. Её точки равноудалены от прямых AB и BC, что нужно для касания третьей прямой.
3. Точка пересечения этих биссектрис и есть искомый центр; она лежит также на внешней биссектрисе угла C. Радиус равен расстоянию от точки до любой из трёх прямых.

Ответ: пересечение внутренней биссектрисы угла A и внешней биссектрисы угла B.

Задача 2. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти радиус вневписанной окружности, противоположной стороне длины 14. Сначала найдём площадь, затем используем формулу, в которой вычитается половина именно этой стороны. Полупериметр равен s = (13 + 14 + 15)/2 = 21.

1. По формуле Герона S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Подставим стороны: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
2. Здесь a = 14, поэтому s − a = 21 − 14 = 7. Из формулы S = rₐ(s − a) находим rₐ = 84/7 = 12.
3. Проверка: 12 · 7 = 84, то есть формула возвращает найденную площадь. Радиус положительный, как и должно быть для длины.

Ответ: 12.

Задача 3. Окружность касается BC и продолжений AB и AC. Выразить длины отрезков касательных через стороны треугольника. Обозначим стороны BC = a, CA = b, AB = c, а отрезки касания на BC — x от B и y от C. Числовых длин сторон в условии нет, поэтому ответ получим в общем виде.

1. Из точки B проведены две касательные: одна до точки касания на BC, другая до точки касания на продолжении AB. Их длины равны x, поэтому отрезок от B до точки касания на продолжении AB тоже равен x. Аналогично отрезок от C на продолжении AC равен y.
2. Так как x + y = BC, получаем x + y = a. Из A касательные к окружности равны: их длины равны c + x и b + y, значит c + x = b + y.
3. Решая систему, получаем x = (a + b − c)/2 = s − c и y = (a + c − b)/2 = s − b. Касательные из A имеют длину c + x = b + y = s.

Ответ: отрезки на BC равны s − c и s − b, касательные из A равны s. Для числового ответа нужно подставить длины сторон.

Типичные ошибки

Иногда центр вневписанной окружности принимают за пересечение внутренних биссектрис всех трёх углов. Так находят центр вписанной окружности, потому что он равноудалён от сторон внутри треугольника. Ошибка возникает из-за смешения названий окружностей. Проверь построение: для вневписанной окружности две биссектрисы должны быть внешними.

Можно перепутать сторону касания и продолжения двух других сторон. Тогда выбранные биссектрисы будут относиться к другой вневписанной окружности. Перед решением отметь сторону, которой касается окружность, и противоположную ей вершину. Например, касание BC означает окружность напротив A.

В формуле S = rₐ(s − a) нельзя подставлять вместо a любую сторону. Индекс у rₐ указывает, что a — сторона, противоположная вершине A; при другой стороне меняются и индекс радиуса, и выражение в скобках. Чтобы проверить себя, сверь обозначения с вершинами треугольника и убедись, что сторона a действительно равна BC.

Радиус не является касательной: это отрезок от центра до точки касания. Путаница возникает из-за того, что оба отрезка связаны с окружностью. В точке касания радиус перпендикулярен касательной, поэтому на чертеже угол между ними должен быть прямым. Если требуется расстояние от центра до стороны, используй длину перпендикуляра, то есть радиус.

Связь с другими темами

Для работы с вневписанной окружностью нужно знать, что такое биссектриса и перпендикуляр от точки к прямой. Также пригодятся свойство равных касательных, проведённых из одной точки, и формулы площади треугольника. Эти знания помогают обосновать построение центра и вычисления, а не только запомнить готовые формулы.

Тема связана с задачами на вычисление площади и радиусов треугольника, а также на касательные и геометрические построения. Например, сначала можно найти площадь и полупериметр по сторонам, а затем определить вневписанный радиус. В обратных задачах известный радиус помогает найти площадь или одну из сторон.

Что запомнить

• У треугольника три вневписанные окружности.
• Центр вневписанной окружности лежит вне треугольника.
• Центр равноудалён от прямых, к которым окружность касается.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны.
• Для окружности, противоположной стороне a, S = rₐ(s − a).