"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Тригонометрия изучает отношения сторон прямоугольного треугольника и помогает по известным сторонам или углам находить неизвестные. Для острого угла используют синус, косинус, тангенс и котангенс. Их значения определяются не размерами треугольника, а величиной угла, потому что подобные треугольники имеют одинаковые отношения соответствующих сторон. Эти правила применяют при вычислении высот, расстояний, сторон и углов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a/c. Противолежащий катет не имеет общей стороны с выбранным углом α, а гипотенуза лежит напротив прямого угла. Синус помогает связать угол с высотой или другой стороной треугольника.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b/c. Прилежащим называют катет, который вместе с гипотенузой образует выбранный угол α. Поэтому при выборе другого острого угла прилежащим станет уже другой катет.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a/b. В этой дроби нет гипотенузы, поэтому тангенс особенно удобен, когда нужно сравнить катеты. Он показывает, насколько один катет больше или меньше другого относительно выбранного угла.
Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = b/a. Это отношение записано в обратном порядке по сравнению с тангенсом. Котангенс применяют, когда известна или удобнее выражается сторона, прилежащая к углу.
Прямоугольные треугольники с одним и тем же острым углом подобны по двум углам: у них есть прямой угол и равный острый угол. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому при увеличении или уменьшении треугольника числитель и знаменатель каждого отношения меняются во столько же раз, а само значение не изменяется.
Чтобы правильно назвать катеты, сначала отметьте выбранный острый угол. Катет, который не входит в состав этого угла, будет противолежащим, а катет, который образует угол вместе с гипотенузой, — прилежащим. Один и тот же катет может быть прилежащим для одного острого угла и противолежащим для другого, поэтому ориентироваться только на его положение на рисунке нельзя.
Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то есть являются дополнительными. Если β = 90° − α, то катет, противолежащий α, оказывается прилежащим к β, а гипотенуза остаётся той же. Поэтому sin α = cos β, а cos α = sin β.
По определениям tg α = a/b и ctg α = b/a, где a и b — два катета относительно угла α. При умножении дробей числители и знаменатели сокращаются: tg α · ctg α = (a/b) · (b/a) = 1. Значит, тангенс и котангенс одного угла являются взаимно обратными отношениями.
Тригонометрические отношения превращают сведения об угле и одной стороне в уравнение для другой стороны. Например, из sin α = a/c можно получить a = c · sin α, а из cos α = b/c — b = c · cos α. Если известны две стороны, третью можно найти по теореме Пифагора, а неизвестный угол — по таблицам или калькулятору.
| Величина | Определение через стороны | Связь с величинами для дополнительного угла |
|---|---|---|
| sin α | Противолежащий катет / гипотенуза | sin α = cos β, если α + β = 90° |
| cos α | Прилежащий катет / гипотенуза | cos α = sin β, если α + β = 90° |
| tg α | Противолежащий катет / прилежащий катет | tg α = 1 / ctg α |
| ctg α | Прилежащий катет / противолежащий катет | ctg α = 1 / tg α |
| Связь синуса и косинуса | Для дополнительных углов | sin α = cos β, cos α = sin β |
| Связь тангенса и котангенса | Обратные отношения | tg α · ctg α = 1 |
Сначала найдите в таблице выбранное отношение, затем определите, какие стороны являются противолежащей и прилежащей. В строках про дополнительный угол проверьте, что сумма углов действительно равна 90°. Для тангенса и котангенса можно быстро выполнить проверку умножением.
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Нужно найти четыре отношения для одного острого угла. Возьмём угол, напротив которого лежит катет 3.
Ответ: sin α = 0,6; cos α = 0,8; tg α = 0,75; ctg α = 4/3. Если выбрать другой острый угол, значения синуса и косинуса поменяются местами, как и значения тангенса с котангенсом.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а sin α = 0,6. Требуется найти катет напротив α и второй катет. Из условия сразу известны гипотенуза и отношение противолежащего катета к ней.
Ответ: катет напротив α равен 6, второй катет равен 8. Получившийся треугольник имеет соотношение сторон 6:8:10.
Лестница длиной 5 м приставлена к вертикальной стене и образует с землёй угол 60°. Лестница является гипотенузой прямоугольного треугольника. Высота — противолежащий катет, а расстояние от стены до основания — прилежащий.
Ответ: лестница достигает высоты 5√3/2 м, или примерно 4,33 м; основание находится в 2,5 м от стены. Выбранные отношения соответствуют углу между лестницей и землёй.
Путать противолежащий и прилежащий катеты легко, если смотреть только на положение сторон на рисунке. Ошибка появляется потому, что названия зависят от выбранного угла. Проверьте себя: прилежащий катет имеет общую сторону с углом, а противолежащий не входит в него.
Иногда в знаменатель синуса или косинуса ставят катет вместо гипотенузы. Это происходит из-за невнимательности при чтении формулы. Найдите прямой угол: сторона напротив него всегда гипотенуза и должна стоять в знаменателе этих двух отношений.
Неверно считать, что при увеличении треугольника меняется значение синуса. Все соответствующие стороны подобных треугольников увеличиваются пропорционально, поэтому их отношение сохраняется. Для проверки сравните числитель и знаменатель: множитель увеличения должен быть одинаковым.
Нельзя использовать формулу для дополнительного угла, не разобравшись, какой угол выбран. Например, равенство sin α = cos β верно только при α + β = 90°. Назовите катеты относительно α и β отдельно, а затем проверьте сумму углов.
Для понимания тригонометрических отношений нужны признаки подобия треугольников: именно подобие объясняет постоянство отношений сторон. Также используется теорема Пифагора a² + b² = c², позволяющая находить неизвестный катет по двум известным сторонам.
Тригонометрия помогает решать прямоугольные треугольники и вычислять расстояния, высоты и длины, которые трудно измерить напрямую. Например, по длине лестницы и углу её наклона можно определить высоту подъёма.
Почему синус угла не меняется, если увеличить прямоугольный треугольник?
При увеличении треугольника его стороны изменяются пропорционально. Новый треугольник подобен исходному, поэтому отношение противолежащего катета к гипотенузе остаётся прежним.
Как понять, какой катет считать прилежащим к углу?
Сначала выберите острый угол. Прилежащий катет — это катет, который образует одну сторону этого угла; второй катет будет противолежащим.
Чем косинус отличается от синуса?
Синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Для двух дополнительных углов синус одного угла равен косинусу другого.
Как связаны тангенс и котангенс одного угла?
Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение. Поэтому их произведение равно 1.
Как выбрать тригонометрическое отношение, чтобы найти неизвестную сторону?
Определите, какие стороны известны и неизвестны относительно выбранного угла. Выберите формулу, в которой участвуют именно эти стороны, затем выразите неизвестную величину.
Тригонометрия — наука об измерении треугольников
