§ 4. Решение треугольников

Определения и обозначения

Решение треугольника — нахождение неизвестных сторон и углов по известным элементам треугольника. Обычно буквами A, B, C обозначают углы, а сторонами a, b, c — стороны напротив них. Это понятие нужно, чтобы по небольшому числу данных восстановить весь треугольник.

Теорема синусов утверждает: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Иными словами, отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх пар. Теорема особенно полезна, когда известны сторона и угол напротив неё.

Теорема косинусов выражает квадрат одной стороны через две другие и косинус угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Она позволяет работать не только с прямоугольными, но и с любыми треугольниками. По этой формуле можно найти сторону или угол.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляют так: S = ½ab sin C. Здесь a и b — выбранные стороны, а C — угол, заключённый между ними. Формула нужна, когда высота неизвестна, но известны две стороны и угол.

Как это устроено

Один угол треугольника можно найти через два остальных, потому что их сумма вместе с ним равна 180°. Например, если A = 50° и B = 60°, то C = 180° − 50° − 60° = 70°. Это не просто промежуточный счёт: найденный угол показывает, какая сторона ему противолежит и какую пару данных удобно использовать дальше.

Теорема синусов следует из формулы площади. Одну и ту же площадь можно записать как ½bc sin A, ½ac sin B и ½ab sin C; приравнивая эти выражения и сокращая общие множители, получаем одинаковые отношения стороны к синусу противоположного угла. Поэтому теорема хорошо работает в задачах, где известна такая соответствующая пара.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Если угол C прямой, то cos C = 0, и формула c² = a² + b² − 2ab cos C превращается в c² = a² + b². При остром угле третья сторона получается меньше, чем при прямом, а при тупом — больше, что помогает оценить разумность ответа.

Выбор теоремы определяется расположением известных элементов, а не только их количеством. Две стороны и угол между ними дают третью сторону по теореме косинусов, после чего можно найти углы; сторона и два угла ведут к теореме синусов. Если известны все три стороны, косинусы углов находят из преобразованной теоремы косинусов.

При известной стороне и двух прилежащих к ней углах сначала вычисляют третий угол, затем составляют отношения по теореме синусов. Полученные стороны должны соответствовать углам: большей стороне противостоит больший угол. Такая проверка обнаруживает ошибку в сопоставлении элементов или вычислениях.

Как выбрать способ решения треугольника

Сначала определите, какие стороны и углы даны и лежит ли известный угол между указанными сторонами. Затем найдите в таблице подходящую схему и запишите пары «сторона — противолежащий угол». Если данные допускают два решения, каждое нужно проверить отдельно.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC даны A = 50°, B = 60° и AB = 10. Найдём C, AC и BC. Сторона AB лежит напротив угла C, поэтому сначала вычислим этот угол.

1. C = 180° − 50° − 60° = 70°.
2. По теореме синусов AC/sin 60° = AB/sin 70°, поэтому AC = 10sin 60°/sin 70° ≈ 9,21.
3. Аналогично BC/sin 50° = 10/sin 70°, откуда BC ≈ 8,15.

Ответ: C = 70°, AC ≈ 9,21, BC ≈ 8,15. Большая сторона AC действительно противостоит большему углу B.

Задача 2. Две стороны треугольника равны 7 и 9, а угол между ними равен 60°. Требуется найти третью сторону и углы. Обозначим третью сторону через c.

1. По теореме косинусов c² = 7² + 9² − 2·7·9·cos 60° = 49 + 81 − 63 = 67, поэтому c = √67 ≈ 8,19.
2. Угол напротив стороны 7 найдём по теореме косинусов: cos A = (9² + c² − 7²)/(2·9·c) ≈ 0,814, значит A ≈ 35,5°.
3. Третий угол B = 180° − 60° − 35,5° ≈ 84,5°.

Ответ: третья сторона равна √67 ≈ 8,19, углы приблизительно равны 35,5°, 84,5° и 60°. Самый большой угол лежит напротив стороны 9.

Задача 3. Даны стороны треугольника 5, 6 и 8. Найдём углы и площадь. Самую большую сторону 8 обозначим c, а угол напротив неё — C.

1. cos C = (5² + 6² − 8²)/(2·5·6) = −3/60 = −0,05, поэтому C ≈ 92,9°.
2. Для угла A напротив стороны 5: cos A = (6² + 8² − 5²)/(2·6·8) = 75/96, откуда A ≈ 38,6°.
3. B = 180° − 92,9° − 38,6° ≈ 48,5°. Площадь S = ½·5·6·sin C ≈ 15.

Ответ: углы примерно равны 38,6°, 48,5° и 92,9°, площадь — около 15 квадратных единиц. Сумма углов после округления близка к 180°.

Типичные ошибки

В теореме косинусов подставляют угол, который не находится между известными сторонами. Так появляется формула для другой стороны. Перед вычислением подпишите, какие две стороны образуют данный угол.

В теореме синусов соединяют сторону с соседним, а не с противолежащим углом. Ошибка возникает из-за невнимательности при обозначениях. Записывайте пары напротив друг друга: a — A, b — B, c — C.

После применения обратной тригонометрической функции берут только один угол. При данных о двух сторонах и угле, не заключённом между ними, возможен второй треугольник. Проверьте второй вариант, сумму углов и условие существования.

Слишком раннее округление и невозможное значение синуса искажают результат. Сохраняйте несколько знаков после запятой до последнего шага и проверяйте, что sin угла находится от 0 до 1. Затем сравните стороны и противолежащие углы.

Связь с другими темами

Для решения треугольников нужны сумма его углов, теорема Пифагора и определения синуса, косинуса и тангенса. Теоремы применяются при вычислении расстояний и высот, если прямое измерение невозможно. Они также подготавливают к тригонометрическим методам в геометрии и задачам стереометрии.

Что запомнить

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• В теореме синусов каждой стороне соответствует противолежащий угол.
• Теорему косинусов применяют, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны.
• Теорема косинусов при прямом угле превращается в теорему Пифагора.
• По двум сторонам и углу, не заключённому между ними, иногда можно построить два разных треугольника.
• После нахождения элементов проверьте сумму углов и согласованность сторон с углами.