Формула Эйлера для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника

Определения и обозначения

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис, обозначаемая I. Биссектриса делит угол пополам, поэтому все три такие линии встречаются в одной точке. Эта точка нужна, чтобы однозначно определить положение окружности, касающейся всех сторон.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, обозначаемая O. Такой перпендикуляр проходит через середину стороны и содержит точки, равноудалённые от её концов. Поэтому O находится на одинаковом расстоянии от всех вершин.

Радиус вписанной окружности — расстояние от I до любой стороны треугольника; его обозначают r. Перпендикуляр от центра к стороне является радиусом, а длины таких перпендикуляров равны. Благодаря этому одна величина r описывает размер всей вписанной окружности.

Радиус описанной окружности — расстояние от O до любой вершины треугольника; его обозначают R. Все три вершины лежат на окружности с центром O, поэтому эти расстояния одинаковы. В дальнейшем сравниваются именно R, r и расстояние между центрами O и I.

Как это устроено

Обозначим расстояние между центрами через d = OI. Формула Эйлера связывает три величины: d, радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r. Она имеет вид d² = R² − 2Rr, поэтому для поиска самого расстояния после вычислений нужно извлечь корень.

Причина появления обеих окружностей связана с их центрами. Точка O задаётся равенством расстояний до вершин, а точка I — равенством расстояний до сторон; положение I можно выразить через стороны треугольника. Если обозначить вершины через A, B, C, а стороны напротив них через a, b, c, то вектор I относительно O выражается как (a·A + b·B + c·C)⁄(a + b + c).

Возведём длину этого вектора в квадрат. Так как OA = OB = OC = R, скалярные произведения векторов вершин можно заменить через длины сторон, а площадь треугольника — через S = pr, где p — полупериметр. После упрощения получается OI² = R² − 2Rr: радиус r появляется именно через расстояние от I до сторон и площадь.

Для практического вычисления достаточно соблюдать порядок действий. Сначала находят R² и произведение 2Rr, затем вычитают второе из первого и проверяют, что подкоренное выражение неотрицательно. Если известны R и d, равенство преобразуют так: 2Rr = R² − d², откуда r = (R² − d²)⁄(2R).

Величины и соотношения в формуле Эйлера

В таблице сначала найдите величины, данные в условии, а затем выберите подходящее соотношение. Если требуется расстояние, применяйте формулу для d² и не забудьте взять неотрицательный корень. Если требуется r, используйте обратную формулу.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике R = 10 см, r = 2 см. Нужно найти расстояние между центрами окружностей. Известны оба радиуса, поэтому непосредственно используем формулу Эйлера.

1. Вычислим квадрат расстояния: d² = 10² − 2·10·2 = 100 − 40 = 60.
2. Извлечём неотрицательный корень: d = √60 = 2√15 см.

Ответ: 2√15 см, или примерно 7,75 см.

Задача 2

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Сначала нужно получить радиусы, поскольку в условии они не даны. Полупериметр равен p = (13 + 14 + 15)⁄2 = 21 см.

1. По формуле Герона найдём площадь: S = √(21·8·7·6) = 84 см².
2. Найдём радиус вписанной окружности: r = S⁄p = 84⁄21 = 4 см.
3. Найдём радиус описанной окружности: R = abc⁄(4S) = 13·14·15⁄(4·84) = 455⁄56 см.
4. Подставим значения: d² = (455⁄56)² − 2·(455⁄56)·4 = 11025⁄3136, поэтому d = 105⁄56 = 15⁄8 см.

Ответ: 15⁄8 см, или 1,875 см.

Задача 3

Дано R = 13 см и d = 5 см. Требуется найти r, поэтому выразим его из формулы Эйлера, а не будем искать расстояние заново.

1. Используем обратную формулу: r = (R² − d²)⁄(2R).
2. Подставим числа: r = (13² − 5²)⁄(2·13) = (169 − 25)⁄26 = 144⁄26 = 72⁄13 см.
3. Проверим ограничение: 13 ≥ 2·72⁄13 неверно, поскольку 13 меньше 144⁄13. Значит, такие значения R и d не могут соответствовать треугольнику.

Ответ: вычисленное значение 72⁄13 см противоречит условию существования треугольника, поэтому исходные данные несовместимы.

Типичные ошибки

Путать обозначения R и r — значит приписывать больший радиус вписанной окружности. Так происходит из-за похожих букв, хотя R относится к описанной окружности, а r — к вписанной. Проверьте себя по смыслу: обычно R ≥ 2r.

Запись d = R² − 2Rr вместо d² = R² − 2Rr меняет саму формулу. Ошибка возникает, когда забывают, что равенство сначала даёт квадрат расстояния. После вычисления обязательно извлеките корень.

Иногда оставляют отрицательный корень, например d = −√… . Расстояние не может быть отрицательным, поэтому выбирают только неотрицательное значение. Дополнительно проверьте, что подкоренное выражение не меньше нуля.

Нельзя считать, что OI = R − r: такая разность возможна для концентрических окружностей, но центры окружностей треугольника вообще не обязаны совпадать. Здесь положение центров определяется формулой Эйлера. Проверка проста: подставьте данные в d² = R² − 2Rr.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны определения вписанной и описанной окружностей, их центров и радиусов, а также теорема Пифагора. В задачах часто применяются площадь треугольника, полупериметр и формулы r = S⁄p, R = abc⁄(4S). Поэтому формула Эйлера объединяет сведения об окружностях, сторонах, площади и взаимном положении центров.

Что запомнить

• Формула Эйлера для треугольника: OI² = R² − 2Rr.
• Чтобы найти расстояние, вычисляют d = √(R² − 2Rr).
• R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
• Для нахождения радиуса вписанной окружности используют r = (R² − d²)⁄(2R).
• Из формулы следует неравенство R ≥ 2r.
• В равностороннем треугольнике O и I совпадают, поэтому d = 0 и R = 2r.