"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Тригонометрическая форма теоремы Чевы связывает конкурентность трёх чевиан с углами, которые они образуют при вершинах треугольника. Если чевианы пересекаются в одной точке, произведение трёх отношений синусов этих углов равно 1. Верно и обратное: равенство произведения 1 позволяет доказать, что чевианы конкурентны. Эта форма удобна, когда в задаче известны углы или их синусы, а не отношения отрезков на сторонах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чевиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. В треугольнике ABC обозначим D точку на BC, E — на CA, F — на AB; тогда AD, BE и CF — чевианы. Эти обозначения помогают увидеть, какую часть треугольника рассматриваем у каждой вершины.
Конкурентные прямые — три прямые, проходящие через одну общую точку. Если конкурентны чевианы AD, BE и CF, значит, они пересекаются в одной точке внутри или вне треугольника. Это свойство и требуется проверять или доказывать по теореме Чевы.
Отношение синусов углов при вершине — дробь, например sin∠BAD / sin∠DAC, сравнивающая синусы двух углов, на которые AD делит угол A. Такое отношение учитывает направление чевианы относительно обеих сторон угла, а не просто величину одного угла.
Тригонометрическая форма теоремы Чевы — условие конкурентности трёх чевиан, записанное через произведение отношений синусов. Она нужна, когда задача сообщает углы или синусы, а сведения об отрезках на сторонах отсутствуют или неудобны.
Пусть в треугольнике ABC точки D, E и F лежат соответственно на сторонах BC, CA и AB, а через них проведены AD, BE и CF. Для каждой вершины записывают два угла: один между чевианой и одной стороной, другой — между чевианой и второй стороной. Так возникают пары ∠BAD и ∠DAC, ∠CBE и ∠EBA, ∠ACF и ∠FCB. Выбор именно этих углов задаёт единое направление записи в формуле.
В обычной теореме Чевы сравнивают отрезки, на которые точки D, E и F делят стороны. Но в некоторых задачах положения точек через длины найти трудно, тогда как углы между чевианами и сторонами известны. Синус удобен потому, что теорема синусов связывает его с длинами сторон треугольника. Поэтому угловые данные можно превратить в отношения длин, а затем применить рассуждение Чевы.
Предположим, что AD, BE и CF проходят через общую точку P. Рассмотрим треугольники, образованные P, вершинами и точками пересечения чевиан со сторонами. Применяя теорему синусов в этих треугольниках, выражают отношения синусов углов при A, B и C через отношения длин. В каждом таком выражении появляются стороны и отрезки, связанные с P, так что три равенства можно перемножить.
После перемножения длины сокращаются: каждый отрезок, появившийся в числителе, встречается и в знаменателе, как и нужные стороны треугольника. Остаётся произведение отношений синусов, равное 1. Так получают прямую форму теоремы. Смысл сокращения в том, что общая точка P связывает все три чевианы, а произведение учитывает сразу все вершины.
Есть и обратное рассуждение. Если произведение трёх отношений синусов равно 1, теорема синусов позволяет перейти к соответствующему равенству отношений отрезков на сторонах. По обратной теореме Чевы из него следует, что чевианы проходят через одну точку. Значит, равенство не только необходимо для конкурентности, но и достаточно при условии, что D, E и F лежат на соответствующих сторонах.
| Ситуация | Условие | Формула | Вывод |
|---|---|---|---|
| Три чевианы AD, BE и CF конкурентны | AD, BE и CF проходят через одну точку | (sin∠BAD / sin∠DAC) · (sin∠CBE / sin∠EBA) · (sin∠ACF / sin∠FCB) = 1 | Произведение отношений синусов равно 1 |
| Произведение отношений синусов равно 1 | Точки D, E и F лежат на соответствующих сторонах треугольника | (sin∠BAD / sin∠DAC) · (sin∠CBE / sin∠EBA) · (sin∠ACF / sin∠FCB) = 1 | Чевианы AD, BE и CF конкурентны |
| Проверка конкурентности | Вычислены все три отношения синусов | Их произведение равно 1 | Можно заключить, что чевианы пересекаются в одной точке |
В первой строке таблицы используется прямая теорема: известная конкурентность даёт равенство произведения единице. Во второй — обратная теорема, позволяющая доказать конкурентность. В задаче на проверку сначала вычислите каждую дробь, затем умножьте результаты.
Условие. Даны отношения sin∠BAD / sin∠DAC = 2, sin∠CBE / sin∠EBA = 3 и sin∠ACF / sin∠FCB = 1/6. Нужно определить, конкурентны ли чевианы AD, BE и CF. Для решения не требуется находить сами углы: все нужные отношения уже известны.
Ответ: чевианы конкурентны. Мы использовали обратную форму, поскольку требовалось не проверить следствие уже известной конкурентности, а установить её по вычислениям.
Условие. Чевианы AD, BE и CF конкурентны; первые два отношения синусов равны 2 и 3. Требуется найти sin∠ACF / sin∠FCB. Конкурентность сразу даёт равенство, которое связывает все три множителя.
Ответ: sin∠ACF / sin∠FCB = 1/6. Здесь важно подставить неизвестное именно на место третьего отношения, не меняя его числитель и знаменатель.
Условие. ∠BAD = 30°, ∠DAC = 45°, ∠CBE = 45°, ∠EBA = 30°, а чевианы конкурентны. Докажем, что CF — биссектриса угла C. Биссектриса делит угол на две равные части, поэтому достаточно получить равенство ∠ACF и ∠FCB.
Ответ: ∠ACF = ∠FCB, поэтому CF — биссектриса угла C.
Переставляют углы в одном отношении и, например, пишут sin∠EBA / sin∠CBE вместо sin∠CBE / sin∠EBA. Это часто происходит потому, что не сверяют запись с выбранным порядком в формуле. Проверьте, что во всех трёх дробях числитель и знаменатель записаны так же, как в теореме.
Подставляют отношения длин отрезков из обычной теоремы Чевы, хотя задача просит работать с углами. Формы теоремы похожи по назначению, и их легко смешать. Перед вычислениями выпишите нужное условие: для тригонометрической формы в произведении стоят отношения синусов.
Считают равенство произведения 1 только следствием уже доказанной конкурентности. Так забывают обратную теорему, хотя именно она часто нужна для доказательства. Если точки лежат на соответствующих сторонах и произведение равно 1, проверьте, не требуется ли заключить, что чевианы конкурентны.
Наконец, подставляют углы не при той вершине: например, сравнивают углы при A с углами при B. Причина — попытка выбирать углы только по их величинам, а не по расположению чевианы. Для самопроверки у каждой дроби отметьте вершину: A для AD, B для BE и C для CF.
Для работы с тригонометрической формой Чевы нужны теорема синусов, свойства синуса и обычная теорема Чевы. Теорема синусов объясняет, почему угловые отношения можно связать с длинами отрезков, а обычная форма помогает понять, откуда берётся условие конкурентности. Приёмы темы применяют, когда нужно доказать, что биссектрисы, медианы или другие специальные чевианы пересекаются в одной точке. Они также полезны в задачах на углы, отношения отрезков и точки пересечения прямых в треугольнике.
Чем тригонометрическая форма теоремы Чевы отличается от обычной?
Обычная теорема Чевы выражает конкурентность через отношения отрезков, на которые точки пересечения делят стороны треугольника. Тригонометрическая форма использует отношения синусов углов при вершинах.
Почему в формуле используются синусы углов, а не сами углы?
Синусы входят в теорему синусов, с помощью которой связывают углы с длинами сторон образованных треугольников. Сами углы нельзя перемножить вместо синусов: равенство произведения синусов и равенство произведения углов — разные условия.
Как правильно определить, какие углы входят в каждое отношение?
У каждого отношения своя вершина: для AD это A, для BE — B, для CF — C. В числитель и знаменатель записывают углы, на которые соответствующая чевиана делит угол вершины, сохраняя порядок из формулы теоремы.
Можно ли по равенству произведения 1 доказать конкурентность чевиан?
Да. Обратная теорема Чевы утверждает, что если точки D, E и F лежат на соответствующих сторонах, а произведение трёх отношений синусов равно 1, то AD, BE и CF проходят через одну точку.
Что делать, если в задаче даны не отношения синусов, а величины самих углов?
Сначала подставьте величины углов в синусы и вычислите три отношения. Затем перемножьте их и сравните результат с 1. Если углы специальные, удобно использовать точные значения синусов, например sin 30° = ½ и sin 45° = √2/2.
Тригонометрическая форма теоремы Чевы
