"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов. Она помогает находить неизвестные стороны и углы, а также радиус описанной окружности. Для сторон a, b, c и противолежащих углов A, B, C выполняется равенство a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Главное при решении — правильно сопоставить сторону и угол и проверить, возможны ли найденные значения в одном треугольнике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема синусов утверждает: в любом треугольнике отношения каждой стороны к синусу противолежащего угла равны. Формула записывается так: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Она позволяет перейти от известной пары «сторона — угол» к другой стороне или углу.
Сторона и противолежащий ей угол находятся друг напротив друга: стороне a соответствует угол A, стороне b — угол B, стороне c — угол C. Эти пары задают обозначения в формуле, поэтому их нельзя менять местами. Если сторона известна, нужно использовать синус именно угла напротив неё.
Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Её центр равноудалён от вершин, а это расстояние называют радиусом описанной окружности и обозначают R. Радиус нужен, чтобы связать размеры треугольника с окружностью, проходящей через его вершины.
Следствие теоремы синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Значит, общее значение отношений равно диаметру описанной окружности, а не её радиусу. Это равенство используют, если требуется найти R по известной стороне и противолежащему углу.
Обозначения сторон и углов определяются их взаимным положением: сторона лежит напротив одноимённого прописного угла. Например, если вершины треугольника обозначены A, B, C, то сторона BC — это a, поскольку она не касается вершины A. Благодаря этому соответствию в теореме синусов каждая сторона делится на синус угла напротив неё, а не соседнего.
Связь стороны с синусом можно увидеть через высоту. Если опустить высоту из вершины C на сторону AB, её длина выражается как h = b sin A и одновременно как h = a sin B. Приравняв эти выражения, получим b sin A = a sin B, то есть a/sin A = b/sin B. Так возникает равенство для двух пар элементов; чтобы связать его с радиусом описанной окружности, используют свойства окружности.
Каждая сторона треугольника является хордой описанной окружности. Вписанный угол, опирающийся на эту хорду, равен углу напротив стороны, а длина хорды выражается через радиус: a = 2R sin A. Если разделить обе части на sin A, получится a/sin A = 2R. Точно так же для двух других сторон выходят равенства b/sin B = 2R и c/sin C = 2R.
Чтобы найти неизвестную сторону или угол, выберите две пары соответствующих элементов и приравняйте их отношения. Например, если известны a, A и B, то a/sin A = b/sin B, откуда b = a sin B/sin A. Если неизвестен угол, сначала находят его синус, затем определяют угол и проверяют, подходит ли он треугольнику. Равенство отношений удобно тем, что для вычисления не нужно знать все стороны и углы сразу.
Если известны сторона и противолежащий ей угол, радиус находят из равенства a/sin A = 2R: R = a/(2 sin A). Перед вычислением проверьте, что угол лежит между 0° и 180° и его синус положителен. Если уже известны другие углы, убедитесь, что вместе они дают 180°; это проверяет, могут ли данные относиться к одному треугольнику.
| Элемент треугольника | Обозначение | Связь по теореме синусов |
|---|---|---|
| Сторона напротив угла A | a | a/sin A = 2R |
| Сторона напротив угла B | b | b/sin B = 2R |
| Сторона напротив угла C | c | c/sin C = 2R |
| Радиус описанной окружности | R | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R |
Найдите в таблице строку, соответствующую известной стороне, и используйте угол напротив неё. Если сравниваете две стороны, приравняйте их отношения. Для радиуса разделите известную сторону на удвоенный синус противолежащего угла.
В треугольнике ABC известны A = 30°, B = 60° и сторона a = 5. Требуется найти b. Поскольку a и b противоположны углам A и B, используем теорему синусов именно для этих пар.
Ответ: b = 5√3, или примерно 8,66.
Известны сторона a = 8 и противолежащий угол A = 40°. Чтобы найти радиус, используем связь a/sin A = 2R. Важно разделить на удвоенный синус: отношение равно диаметру окружности.
Ответ: R ≈ 6,22.
Даны a = 7, b = 9 и A = 35°. Нужно найти возможный угол B и проверить, сколько треугольников подходит. По теореме синусов сначала определим sin B, а затем проверим оба угла с таким синусом.
Ответ: B ≈ 47,5° или B ≈ 132,5°; задача имеет два решения.
Сторону иногда сопоставляют с соседним углом, потому что при записи формулы легко ориентироваться только на близость обозначений. Тогда пропорция описывает уже не те пары элементов и даёт неверный результат. Перед вычислением выпишите соответствия a — A, b — B, c — C и проверьте, что сторона и угол лежат друг напротив друга.
В равенстве a/sin A = 2R забывают множитель 2 и принимают отношение за радиус. Путаница возникает из-за того, что R обозначает радиус, хотя отношение связано с диаметром окружности. Самопроверка проста: при поиске радиуса используйте R = a/(2 sin A), а не a/sin A.
При нахождении угла по синусу часто оставляют только острый вариант, хотя тот же синус имеет дополнительный угол 180° − α. Поэтому можно потерять второе решение задачи. Проверьте оба значения и оставьте только те, при которых сумма углов треугольника меньше 180° до нахождения последнего угла.
Ещё одна ошибка — вводить градусные значения в калькулятор, настроенный на радианы. Число на экране тогда не соответствует синусу угла в условии, и дальнейшие вычисления сбиваются. Проверьте обозначение DEG или настройку градусов и оцените результат: для угла 30° синус должен быть 0,5.
Для работы с теоремой синусов нужно знать обозначения вершин и сторон, сумму углов треугольника и значения синуса углов от 0° до 180°. Её обоснование связано со свойствами вписанных углов, хорд и описанной окружности: сторона рассматривается как хорда, стягивающая соответствующий угол. В дальнейшем теорема помогает решать треугольники, находить неизвестные стороны и углы, а также радиус описанной окружности.
Почему в теореме синусов появляется диаметр описанной окружности?
Сторона треугольника является хордой описанной окружности, а угол напротив неё связан с этой хордой как вписанный угол. Из свойств хорды получается, что её длина равна диаметру окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Поэтому отношение стороны к синусу равно диаметру, то есть 2R.
Как не перепутать сторону и противолежащий ей угол?
Угол, противолежащий стороне, находится напротив неё и не имеет с ней общей вершины. Запомните пары: a и A, b и B, c и C. Перед подстановкой проверьте, что в числителе и синусе стоят соответствующие элементы.
Когда в формуле теоремы синусов нужно использовать 2R?
Если требуется найти радиус описанной окружности, используйте равенство a/sin A = 2R или аналогичное для другой пары. Тогда R = a/(2 sin A). Множитель 2 появляется потому, что отношение стороны к синусу равно диаметру, а не радиусу.
Почему по известному синусу иногда можно найти два разных угла?
Углы α и 180° − α имеют одинаковый синус. Поэтому в пределах от 0° до 180° найденному значению синуса могут соответствовать два угла. Нужно проверить каждый из них: сумма углов треугольника должна быть 180°.
Как понять, что полученные значения действительно образуют треугольник?
Проверьте, что все углы больше 0°, а их сумма равна 180°. При поиске угла по синусу рассмотрите оба возможных угла и отбросьте тот, при котором сумма с уже известными углами достигает или превышает 180°. Также значение синуса должно находиться от 0 до 1.
§ 3. Теорема синусов
