§ 2. Теорема косинусов

Определения и обозначения

Теорема косинусов утверждает: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Косинус — числовая характеристика угла, знакомая по тригонометрии. Теорема нужна, когда треугольник не прямоугольный и для вычислений недостаточно теоремы Пифагора.

В стандартных обозначениях сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B, а сторона c — напротив угла C. Противолежащая сторона не образует этот угол: она находится напротив него. Такое соответствие помогает правильно выбрать формулу и не спутать искомую сторону с двумя сторонами, которые заключают нужный угол.

Например, для стороны a формула имеет вид a² = b² + c² − 2bc · cos A. Здесь A — угол между сторонами b и c, то есть угол, лежащий напротив стороны a. Формулы для b и c строятся по тому же правилу: квадрат искомой стороны равен сумме квадратов двух остальных минус удвоенное произведение этих сторон на косинус противоположного угла.

Как это устроено

Представьте треугольник ABC: стороны b и c сходятся в вершине A, а напротив этой вершины находится сторона a. Если известны b, c и угол A, то теорема связывает эти три величины напрямую. Поэтому для нахождения a не нужно сначала проводить высоту и искать дополнительные неизвестные отрезки.

Чтобы найти третью сторону, подставляют в формулу длины двух известных сторон и косинус угла между ними. Затем вычисляют правую часть и извлекают квадратный корень, потому что длина стороны положительна. Угол должен быть именно заключён между известными сторонами: иначе подстановка описывает другую пару сторон и результат не соответствует условию.

Если известны все три стороны, формулу можно преобразовать. Например, из a² = b² + c² − 2bc · cos A переносим слагаемое с косинусом и делим на 2bc: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Так сначала находится косинус угла, а не сам угол, поэтому затем по таблице, калькулятору или известным значениям косинуса определяют A.

При A = 90° косинус равен нулю: горизонтальная составляющая одного из направлений исчезает, и член 2bc · cos A обращается в ноль. Формула становится a² = b² + c², то есть теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. Это показывает, что теорема косинусов не противоречит знакомому правилу, а охватывает и его случай.

После вычисления косинуса угол находят обратным действием: например, если cos A = 0,5, то A = 60°. Результат проверяют по допустимому диапазону косинуса от −1 до 1, а для углов треугольника — ещё и по тому, что каждый угол больше 0° и их сумма равна 180°. Если проверка не проходит, нужно пересмотреть вычисления или данные.

Формулы теоремы косинусов для сторон треугольника

Сначала найдите в таблице искомую сторону, затем возьмите формулу из той же строки. Угол в последнем столбце должен быть заключён между двумя сторонами, указанными в произведении. Если ищете угол по трём сторонам, переставьте слагаемые и выразите косинус этого угла.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике две стороны равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Поскольку известен угол между данными сторонами, искомая сторона лежит напротив него. Обозначим её x и применим теорему косинусов.

1. Подставим данные: x² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°.
2. Так как cos 60° = ½, получаем x² = 25 + 49 − 70 · ½ = 39.
3. Длина стороны положительна, поэтому x = √39 ≈ 6,24.

Ответ: √39, или примерно 6,24. Проверка здравого смысла: третья сторона меньше суммы 5 + 7 и больше их разности, значит полученная длина подходит.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите косинус угла, лежащего напротив стороны 7. Обозначим этот угол через A, а сторону 7 — через a. Две стороны, образующие угол A, имеют длины 5 и 6.

1. Запишем формулу для угла напротив стороны 7: cos A = (5² + 6² − 7²) / (2 · 5 · 6).
2. Вычислим числитель: 25 + 36 − 49 = 12, а знаменатель равен 60.
3. Следовательно, cos A = 12/60 = 1/5 = 0,2.

Ответ: cos A = 0,2. Значение находится между −1 и 1, что согласуется с возможностью такого угла, а положительный косинус показывает, что угол острый.

Задача 3. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите его углы. Угол напротив стороны 13 найдём первым, затем применим тот же способ к двум другим сторонам. Поскольку известны все три стороны, в каждом случае выражаем косинус нужного угла.

1. Для угла напротив 13: cos A = (14² + 15² − 13²) / (2 · 14 · 15) = 252/420 = 0,6, поэтому A ≈ 53,1°.
2. Для угла напротив 14: cos B = (13² + 15² − 14²) / (2 · 13 · 15) = 198/390 ≈ 0,508, поэтому B ≈ 59,5°.
3. Для угла напротив 15: cos C = (13² + 14² − 15²) / (2 · 13 · 14) = 140/364 ≈ 0,385, поэтому C ≈ 67,4°.

Ответ: примерно 53,1°, 59,5° и 67,4°. При округлении сумма составляет 180°, как и должна для углов треугольника. Небольшое отличие в последних десятых возможно из-за округления косинусов и углов.

Типичные ошибки

В формулу подставляют угол, который не заключён между известными сторонами. Это происходит, когда выбирают угол по рисунку или условию, не проверяя, какие стороны его образуют. Перед вычислением назовите вслух две стороны в произведении: угол должен находиться именно между ними.

Можно перепутать сторону и противолежащий ей угол: например, использовать A в формуле для стороны b. Обычно причина — невнимательная расстановка букв у вершин и сторон. Проверьте соответствие: большая буква обозначает угол, а одноимённая маленькая — сторону напротив него.

Ещё одна ошибка — потерять множитель 2 или знак минус перед произведением с косинусом. Тогда неверно меняется значение под корнем, а иногда получается длина, невозможная для данного треугольника. Сверьте запись с общей формой a² = b² + c² − 2bc · cos A и подставляйте значения только после неё.

При нахождении угла некоторые забывают разделить на произведение двух прилежащих сторон или принимают значение косинуса за градусную меру угла. Из-за этого ответ получается неверным, хотя стороны подставлены правильно. Сначала изолируйте cos угла, затем используйте обратную функцию или таблицу и проверьте диапазон от −1 до 1.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны обозначения сторон и углов треугольника, теорема Пифагора и значения косинуса знакомых углов. Понимание косинуса помогает вычислять сторону без построения прямоугольного треугольника. А случай прямого угла связывает новую формулу с теоремой Пифагора.

Теорема косинусов помогает решать треугольники и находить расстояния, когда прямоугольный треугольник выделить нельзя. Её применяют, если известны две стороны и угол между ними либо три стороны. Полученные длины и углы могут описывать расстояния между объектами, которые не лежат на перпендикулярных направлениях.

Вместе с теоремой синусов теорема косинусов составляет инструментарий для решения треугольников. Теорему синусов удобно применять, когда известны сторона и противолежащий угол, а теорему косинусов — в ситуациях с двумя сторонами и углом между ними или с тремя сторонами. Выбор зависит от того, какие данные уже известны.

Что запомнить

• Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
• Угол в формуле — именно угол между двумя сторонами, входящими в произведение.
• Для стороны a используют угол A, для b — угол B, для c — угол C.
• Если известны две стороны и угол между ними, теорема позволяет найти третью сторону.
• Если известны три стороны, формулу можно преобразовать и найти косинус любого угла.
• При прямом угле теорема косинусов переходит в теорему Пифагора.