§ 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Определения и обозначения

Синусом угла α от 0° до 180° называют ординату y точки единичной окружности, соответствующей этому углу: sin α = y. Ордината — это вторая координата точки, показывающая её положение по вертикали. Синус помогает описывать вертикальное положение точки и используется при вычислении сторон треугольников.

Косинусом угла α называют абсциссу x соответствующей точки единичной окружности: cos α = x. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Вместе синус и косинус полностью задают координаты точки для данного угла.

Тангенсом угла α называют отношение его синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Тангенс определён только тогда, когда cos α ≠ 0, поэтому на промежутке от 0° до 180° он не определён при α = 90°. Это отношение удобно, когда известны синус и косинус угла.

Котангенсом угла α называют отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. Котангенс не определён при sin α = 0, то есть при α = 0° и α = 180°. Он позволяет выразить соотношение координат точки, если ордината не равна нулю.

Как это устроено

Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. Угол α откладывают от положительного направления оси абсцисс, а его конечная сторона пересекает окружность в точке M. Радиус OM равен единице, поэтому координаты точки M непосредственно задают косинус и синус: M(cos α; sin α). Именно единичный радиус позволяет связать угол с координатами без дополнительного масштабирующего множителя.

При повороте от 0° до 180° точка движется по верхней половине окружности: сначала по первой четверти, затем по второй. Поэтому её ордината не бывает отрицательной, и sin α ≥ 0 на всём промежутке, включая концы. Абсцисса сначала положительна, в точке над углом 90° становится нулевой, а затем отрицательна. Так возникает смена знака косинуса при переходе через 90°.

Так как координаты точки лежат на окружности радиуса 1, для них выполняется x² + y² = 1. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем sin² α + cos² α = 1. Тангенс получается делением ординаты на абсциссу, а котангенс — абсциссы на ординату. Если знаменатель равен нулю, соответствующее отношение не имеет значения: cos 90° = 0, а sin 0° = sin 180° = 0.

Для острого угла точка находится в первой четверти, где обе координаты положительны. Для тупого угла точка лежит во второй четверти: ордината остаётся положительной, а абсцисса становится отрицательной. Поэтому значения синуса тупого угла можно связать с соответствующим острым углом, а знак косинуса выбрать по четверти. Например, углам β и 180° − β соответствуют одинаковые ординаты, но противоположные абсциссы.

Для специальных углов координаты находят по известным значениям функций острых углов и положению точки на окружности. При 0° точка имеет координаты (1; 0), при 90° — (0; 1), а при 180° — (−1; 0). Для 30°, 45° и 60° используют известные значения синуса и косинуса острых углов. Тангенс и котангенс затем получают делением, но сначала проверяют, не равен ли знаменатель нулю.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса на промежутке от 0° до 180°

В таблице интервалы области определения показывают, какие углы можно подставлять в функцию. Знак «+» означает положительное значение, «−» — отрицательное; нули и исключённые углы указаны отдельно. Сначала проверьте область определения, а затем используйте знак и множество значений для проверки ответа.

Разбор задач

Задача 1. Найти sin 150°, cos 150°, tg 150° и ctg 150°. Угол 150° равен 180° − 30°, поэтому его точка лежит во второй четверти; синус там положителен, а косинус отрицателен. Используем значения функций для 30° и формулы для углов, сумма которых равна 180°.

1. sin 150° = sin 30° = ½.
2. cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
3. tg 150° = sin 150° / cos 150° = (½) / (−√3/2) = −√3/3.
4. ctg 150° = cos 150° / sin 150° = (−√3/2) / (½) = −√3.

Оба отношения определены: ни синус, ни косинус в знаменателях не равны нулю. Их отрицательные знаки согласуются с тем, что во второй четверти косинус отрицателен, а синус положителен. Ответ: sin 150° = ½, cos 150° = −√3/2, tg 150° = −√3/3, ctg 150° = −√3.

Задача 2. Определить, при каких значениях α выражение tg α не имеет смысла, если 0° ≤ α ≤ 180°. Тангенс равен отношению sin α / cos α, а деление на ноль невозможно. Значит, нужно найти угол из заданного промежутка, при котором cos α = 0.

1. Косинус равен нулю при α = 90° на рассматриваемом промежутке.
2. При всех остальных углах от 0° до 180° знаменатель не равен нулю, поэтому тангенс определён.

Проверка по единичной окружности даёт тот же результат: при 90° точка имеет координаты (0; 1), её абсцисса равна нулю. Ответ: tg α не определён при α = 90°.

Задача 3. Известно, что 90° < α < 180° и sin α = 3/5. Найти cos α, tg α и ctg α. По основному тождеству можно найти модуль косинуса, а промежуток для α подсказывает, какой знак выбрать. Затем подставим найденные значения в определения тангенса и котангенса.

1. cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25, поэтому |cos α| = 4/5.
2. Угол тупой, точка лежит во второй четверти, где абсцисса отрицательна. Значит, cos α = −4/5.
3. tg α = (3/5) / (−4/5) = −3/4.
4. ctg α = (−4/5) / (3/5) = −4/3.

Полученные знаки отношений также согласуются с тем, что синус положителен, а косинус отрицателен. Ни один знаменатель не равен нулю, поэтому оба значения существуют. Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что синус тупого угла отрицателен. Её допускают, если переносят правило о знаках из третьей или четвёртой четверти на вторую. На окружности при углах от 90° до 180° точка находится над осью абсцисс, значит, её ордината и синус положительны. Проверьте положение точки, а не только величину угла.

Ошибка: считать косинус тупого угла положительным. Так бывает, если помнить, что косинус положителен для острых углов, но не учитывать смену четверти. Во второй четверти абсцисса точки отрицательна, поэтому cos α < 0. Проверка по координатам сразу выявляет неверный знак.

Ошибка: приписывать значение tg 90° или ctg 0°. В первом случае знаменатель cos 90° равен нулю, во втором sin 0° равен нулю, а делить на ноль нельзя. Перед вычислением отношения всегда проверьте знаменатель. То же правило объясняет, почему ctg 180° тоже не определён.

Ошибка: переставлять числитель и знаменатель в формулах тангенса и котангенса. Их определения похожи, поэтому их легко перепутать. Запоминайте: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Подставьте простое значение, например α = 45°, где обе функции равны 1: оно не обнаружит перестановку, поэтому надёжнее сверить формулу и проверить особый угол, например 30°.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны координаты точки на плоскости, единичная окружность и правила знаков координат в четвертях. Также пригодится основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1 и умение находить значения функций острых углов. В дальнейшем эти определения помогут решать треугольники, преобразовывать тригонометрические выражения и изучать тригонометрические уравнения. Знание знаков функций позволяет отсеивать ответы, которые не подходят условию.

Что запомнить

• На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — её ордината.
• На промежутке [0°; 180°] синус неотрицателен.
• Косинус положителен при острых углах, равен нулю при 90° и отрицателен при тупых углах.
• tg α = sin α / cos α; тангенс не определён при α = 90°.
• ctg α = cos α / sin α; котангенс не определён при α = 0° и α = 180°.
• Для любого угла, при котором определены синус и косинус, выполняется sin² α + cos² α = 1.