§ 8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

Определения и обозначения

Расстоянием между двумя точками на координатной прямой называют модуль разности их координат: для координат a и b это |a − b|. Модуль показывает расстояние числа от нуля и не бывает отрицательным, поэтому порядок вычитания не меняет длину. Например, между числами −2 и 4 расстояние равно |−2 − 4| = 6. Это правило удобно, когда точки лежат на одной прямой.

На координатной плоскости расстояние между двумя точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Если точки имеют координаты A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то отрезок AB и есть искомое расстояние. Такая запись позволяет перейти от чертежа к вычислениям. Чтобы найти длину, нужно учитывать изменения обеих координат.

Серединой отрезка называют точку, которая делит его на два равных отрезка. Её абсцисса — координата по горизонтальной оси, а ордината — координата по вертикальной оси. Если M — середина AB, то AM = MB. Координаты M позволяют указать положение этой точки на плоскости без дополнительного построения.

Для концов A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) середина имеет координаты M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2). Иными словами, абсцисса M равна полусумме абсцисс концов, а ордината M — полусумме ординат. Каждую пару однотипных координат усредняют отдельно. Формула нужна как для нахождения середины, так и для восстановления неизвестного конца отрезка.

Как это устроено

Если у точек A(x₁; y) и B(x₂; y) одинаковые ординаты, они лежат на одной горизонтальной прямой. Между ними меняется только абсцисса, поэтому задача сводится к расстоянию на координатной прямой. Длина отрезка равна |x₂ − x₁|: модуль нужен, чтобы результат не зависел от того, какая точка записана первой. Для точек с одинаковой абсциссой рассуждение такое же, но меняются ординаты и расстояние равно |y₂ − y₁|.

Для любых двух точек можно провести через них и параллельно осям прямоугольные отрезки. Их длины равны |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|, потому что они показывают, насколько различаются соответствующие координаты. Эти отрезки перпендикулярны, значит, образуют катеты прямоугольного треугольника, а AB становится гипотенузой. По теореме Пифагора AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Следовательно, AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Чтобы понять формулу середины, спроецируем концы отрезка AB и его середину M на координатные оси. Проекция — это точка, полученная при опускании перпендикуляра на ось; у проекции на ось абсцисс сохраняется горизонтальная координата. Так как AM и MB равны, соответствующие проекции середины делят отрезки на осях пополам. Поэтому координата проекции M на ось абсцисс находится посередине между x₁ и x₂, а на ось ординат — между y₁ и y₂.

Координата, расположенная посередине между двумя числами, равна их среднему арифметическому. Отсюда xₘ = (x₁ + x₂) / 2 и yₘ = (y₁ + y₂) / 2. Формулы применяют отдельно: для абсциссы берут только абсциссы концов, для ординаты — только ординаты. Складывать координаты разных типов нельзя, поскольку они описывают положение по разным осям.

Формулы можно использовать и в обратных задачах. Если известны середина и один конец, из равенства xₘ = (x₁ + x₂) / 2 получают x₂ = 2xₘ − x₁; для ординаты действуют аналогично. Если известна длина и одна координатная разность, формула расстояния помогает найти вторую разность, а затем возможные координаты второго конца. При этом длина сама по себе не всегда задаёт единственное положение точки: ответ зависит от дополнительных условий.

Расстояние и середина отрезка по координатам концов

Сначала определите, есть ли у точек одинаковая координата: в таком случае вычисление расстояния упрощается. Для произвольных точек используйте общую формулу, а координаты середины всегда находите двумя отдельными полусуммами. Таблица позволяет выбрать формулу по условию и сверить, какие именно координаты в неё подставлять.

Разбор задач

Задача 1. Найти расстояние между точками A(−2; 3) и B(4; 3). Ординаты точек равны, значит, точки расположены на одной горизонтальной прямой. Поэтому достаточно сравнить абсциссы, а не вычислять длину через теорему Пифагора.

1. Записываем координаты: x₁ = −2, x₂ = 4, y₁ = y₂ = 3.
2. Используем формулу для одинаковых ординат: AB = |x₂ − x₁|.
3. Подставляем числа: AB = |4 − (−2)| = |6| = 6.

Ответ: AB = 6.

Задача 2. Найти длину отрезка с концами C(1; −2) и D(5; 1), а также координаты его середины. Здесь различаются и абсциссы, и ординаты, поэтому используем общую формулу расстояния. Для середины отдельно усредним координаты одного типа.

1. Находим разности: x₂ − x₁ = 5 − 1 = 4, y₂ − y₁ = 1 − (−2) = 3.
2. Вычисляем длину: CD = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
3. Находим абсциссу середины: (1 + 5) / 2 = 3.
4. Находим ординату середины: (−2 + 1) / 2 = −½.

Ответ: CD = 5, M(3; −½).

Задача 3. Точка M(2; −1) — середина отрезка AB, где A(−3; 4). Найти координаты B и длину AB. Сначала восстановим неизвестные координаты по формулам середины, затем применим формулу расстояния. Так мы не пытаемся угадать положение точки по чертежу.

1. Для абсцисс: 2 = (−3 + x₂) / 2, значит, 4 = −3 + x₂ и x₂ = 7.
2. Для ординат: −1 = (4 + y₂) / 2, значит, −2 = 4 + y₂ и y₂ = −6.
3. Следовательно, B(7; −6). Разности координат равны 7 − (−3) = 10 и −6 − 4 = −10.
4. Находим длину: AB = √(10² + (−10)²) = √200 = 10√2.

Ответ: B(7; −6), AB = 10√2.

Типичные ошибки

Если вычесть координаты в разном порядке, можно получить отрицательное число и ошибочно принять его за расстояние. Так происходит, когда забывают, что длина не зависит от направления движения по прямой. Для точек на одной прямой берите модуль разности; в общей формуле разности возводятся в квадрат. Проверьте результат: он должен быть неотрицательным.

В формуле расстояния иногда забывают возвести в квадрат одну из разностей или не извлекают корень из суммы квадратов. В первом случае нарушается теорема Пифагора, а во втором находят квадрат длины, а не длину. Запишите формулу целиком до подстановки чисел. Затем проверьте, что квадрат возведён у обеих разностей, а корень охватывает их сумму.

При вычислении середины можно сложить абсциссу одного конца с ординатой другого или разделить сумму на неверное число. Ошибка возникает, если воспринимать координаты как одно общее число, а не как пару независимых значений. Усредняйте абсциссы между собой, а ординаты — между собой, деля обе суммы на 2. Подстановка результата в формулу середины помогает проверить вычисления.

Формулу середины иногда путают с формулой расстояния и используют разности вместо полусумм. Причина в том, что обе формулы работают с координатами концов, хотя отвечают на разные вопросы. Для середины ищите точку между координатами, а для расстояния — длину отрезка. Проверьте смысл ответа: координаты середины должны быть средними значениями координат концов.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужно уметь читать координаты точки на плоскости, различать абсциссу и ординату, находить модуль числа и применять теорему Пифагора. Эти знания объясняют, откуда берутся разности координат и почему они образуют катеты прямоугольного треугольника. Освоенные формулы пригодятся в координатном методе: с их помощью находят длины и середины отрезков, а также исследуют свойства геометрических фигур. Например, можно сравнить длины сторон или проверить, делятся ли диагонали четырёхугольника пополам.

Что запомнить

• Расстояние между точками неотрицательно.
• На одной горизонтальной прямой расстояние равно модулю разности абсцисс.
• На одной вертикальной прямой расстояние равно модулю разности ординат.
• Для произвольных точек квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей координат.
• Абсцисса середины — полусумма абсцисс концов.
• Ордината середины — полусумма ординат концов.