"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Уравнение фигуры связывает координаты её точек: ему должны удовлетворять все точки фигуры и только они. Для окружности это условие выражает постоянное расстояние от каждой её точки до центра. Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид x² + y² = R²; если центр — точка (a; b), то (x − a)² + (y − b)² = R². Такие записи помогают задавать окружности и решать геометрические задачи алгебраическими методами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение фигуры — уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и только они. Иначе говоря, оно позволяет по числам x и y определить, принадлежит ли точка фигуре. Это определение нужно, чтобы отличать уравнение конкретной фигуры от условия, которое подходит лишь некоторым её точкам.
Координаты точки на плоскости — числа x и y, задающие её положение относительно выбранных координатных осей. Точку обычно записывают в виде (x; y): первое число показывает положение по горизонтали, второе — по вертикали. Координаты нужны, чтобы перевести геометрические условия о точках и расстояниях на язык вычислений.
Уравнение окружности — равенство, связывающее координаты точек окружности с координатами её центра и радиусом. Центр — точка, от которой все точки окружности удалены на одно и то же расстояние, а это расстояние называют радиусом. Такое уравнение помогает задавать окружность, даже если её центр расположен не в начале координат.
Каноническое уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид x² + y² = R², где R — радиус окружности. Здесь переменные обозначают координаты любой точки окружности, а правая часть — квадрат расстояния от неё до центра. Формула позволяет сразу записать уравнение, когда известны положение центра и радиус.
Чтобы задать фигуру уравнением, сначала выбирают координатную систему, а затем описывают условие для координат её точек. Например, если условие связано с расстоянием, координаты позволяют выразить это расстояние числовой формулой. Выбор координат важен: одна и та же фигура может получить более простое уравнение, если удобно расположить оси и начало отсчёта.
Уравнение фигуры проверяют в обе стороны, потому что одной проверки недостаточно. Если координаты всех точек фигуры подходят, уравнение всё ещё может включать посторонние точки. И наоборот, оно может не захватывать часть нужной фигуры. Поэтому требуется убедиться и в том, что каждая точка фигуры удовлетворяет уравнению, и в том, что всякое решение уравнения задаёт точку этой фигуры.
Для точки (x; y) квадрат расстояния до начала координат равен x² + y²: координаты образуют катеты прямоугольного треугольника, а расстояние — его гипотенузу. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. На окружности это расстояние постоянно и равно R, значит, его квадрат равен R². Поэтому координаты точек окружности удовлетворяют равенству x² + y² = R².
Если центр окружности находится в точке (a; b), расстояние до точки (x; y) считают по разностям соответствующих координат. Получается формула √((x − a)² + (y − b)²): разности координат образуют катеты прямоугольного треугольника. Для точек окружности это расстояние равно R. Возведя обе части равенства в квадрат, получаем уравнение (x − a)² + (y − b)² = R².
Уравнение можно составить и по известным центру и точке окружности, потому что эта точка отстоит от центра ровно на радиус. Сначала вычисляют расстояние между двумя точками по формуле, основанной на теореме Пифагора. Затем подставляют найденный радиус и координаты центра в уравнение окружности. Если вычислять сразу квадрат расстояния, извлекать корень не потребуется: в формуле всё равно используется R².
| Расположение центра | Уравнение | Центр | Радиус |
|---|---|---|---|
| Центр в начале координат | x² + y² = R² | (0; 0) | R |
| Центр в точке (a; b) | (x − a)² + (y − b)² = R² | (a; b) | R |
| Центр и одна известная точка окружности | (x − a)² + (y − b)² = (x₀ − a)² + (y₀ − b)² | (a; b) | Расстояние от центра до точки (x₀; y₀) |
Сначала найдите в таблице строку, соответствующую известным данным задачи. Если даны центр и радиус, подставьте их значения в нужную формулу, помня, что радиус возводится в квадрат. Если дана точка окружности, её координаты используют для вычисления квадрата радиуса, а в скобках уравнения записывают координаты центра.
Задача: запишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5. Поскольку центр совпадает с началом координат, подходит формула x² + y² = R². Переменные оставляем в левой части, а значение радиуса подставляем вместо R. Не забудьте возвести радиус в квадрат.
Ответ: x² + y² = 25. Проверить смысл результата можно так: любая точка этой окружности находится от начала координат на расстоянии 5. Например, точка (5; 0) удовлетворяет равенству, поскольку 5² + 0² = 25.
Задача: запишите уравнение окружности с центром в точке (2; −3) и радиусом 4. Используем формулу для произвольного центра: из x вычитаем первую координату центра, а из y — вторую. Поскольку вторая координата отрицательная, выражение y − (−3) превращается в y + 3. Затем подставляем квадрат радиуса.
Ответ: (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Скобки показывают центр (2; −3), а число 16 — квадрат радиуса 4. Для проверки можно подставить центр: расстояние от него до самой себя равно нулю, поэтому центр не удовлетворяет уравнению окружности положительного радиуса, что соответствует геометрическому смыслу.
Задача: составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), проходящей через точку (4; 6). Радиус неизвестен, но он равен расстоянию между центром и данной точкой окружности. Чтобы избежать лишнего извлечения корня, сразу найдём квадрат радиуса. Затем используем формулу окружности с центром (1; 2).
Ответ: (x − 1)² + (y − 2)² = 25. Проверим, что известная точка действительно лежит на окружности: подстановка (4; 6) даёт 3² + 4² = 25. Равенство выполняется, значит, точка находится на составленной окружности.
Иногда любое условие, подходящее нескольким точкам фигуры, принимают за её уравнение. Так происходит, если проверить только отдельные примеры и не убедиться, что других решений нет. Проверяйте обе стороны: все точки фигуры должны подходить, а каждое решение должно задавать точку этой фигуры.
Вместо x² + y² = R² могут записать x² + y² = R. Ошибка возникает, когда забывают, что по теореме Пифагора складываются квадраты длин. Сверьте размерности: левая часть состоит из квадратов координат, поэтому справа должен стоять квадрат радиуса.
В формуле со сдвинутым центром путают знаки: для центра (a; b) пишут (x + a)² + (y + b)². Причина в том, что координаты центра нужно вычитать, а два минуса легко перепутать. Подставьте координаты центра в скобки: выражения x − a и y − b должны обратиться в ноль именно при x = a и y = b.
Координаты точки окружности иногда подставляют вместо координат центра в скобки. Это происходит, когда в задаче упомянуты две точки и неясно, какую роль играет каждая. Сначала подпишите центр и точку на окружности отдельно, затем найдите радиус как расстояние между ними и только после этого составьте уравнение.
Чтобы работать с уравнением окружности, нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и находить расстояние между двумя точками. Формула расстояния получается из теоремы Пифагора, поэтому она лежит в основе уравнения окружности. Координатный метод помогает переводить геометрические условия в вычисления и применяется при изучении взаимного расположения прямых и окружностей. Связь уравнений с множествами точек также подготавливает к изучению графиков уравнений и других фигур на плоскости.
Что называют уравнением фигуры?
Это уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры. При этом ни одна пара чисел, не задающая точку этой фигуры, не должна удовлетворять уравнению.
Как понять, что уравнение задаёт именно данную фигуру?
Нужно проверить два условия. Координаты любой точки фигуры должны удовлетворять уравнению, и каждая пара чисел, которая ему удовлетворяет, должна задавать точку этой фигуры.
Почему в уравнении окружности радиус возводят в квадрат?
По теореме Пифагора квадрат расстояния от точки (x; y) до начала координат равен x² + y². На окружности это расстояние равно R, поэтому квадраты расстояний дают равенство x² + y² = R².
Как записать уравнение окружности, если её центр не в начале координат?
Для центра (a; b) и радиуса R используют формулу (x − a)² + (y − b)² = R². В скобках из переменных вычитают координаты центра, поэтому отрицательная координата приводит к знаку плюс.
Как составить уравнение окружности по центру и точке на ней?
Сначала находят квадрат радиуса — квадрат расстояния от центра до известной точки. Затем подставляют координаты центра и найденный квадрат радиуса в формулу окружности.
§ 9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности
