"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Уравнение прямой позволяет описать её положение на координатной плоскости с помощью чисел. В записи y = kx + b коэффициент k показывает направление и крутизну прямой, а b указывает, где она пересекает ось Oy. Если известны координаты двух точек, можно найти k и составить уравнение прямой. Исключение — вертикальная прямая: для неё используют уравнение x = x₁.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угловой коэффициент прямой — число k в уравнении y = kx + b; он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Проще говоря, k описывает, как меняется ордината при изменении абсциссы. По нему можно понять, возрастает прямая или убывает и насколько она крутая.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом — запись y = kx + b, где k — угловой коэффициент, а b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Число b называют свободным членом. Такая форма помогает быстро построить прямую и сравнить её с другими прямыми.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, задаёт прямую по координатам этих точек. Если точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂) имеют разные абсциссы, запись имеет вид y − y₁ = ((y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)) · (x − x₁). Она позволяет восстановить уравнение, даже если наклон прямой заранее неизвестен.
Возьмём две точки прямой с разными абсциссами. При переходе от первой точки ко второй абсцисса меняется на x₂ − x₁, а ордината — на y₂ − y₁. Отношение этих изменений k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) показывает, насколько изменяется y при изменении x на единицу. Поэтому оно и является угловым коэффициентом прямой.
В уравнении y = kx + b можно узнать точку пересечения с осью Oy, положив x = 0. Тогда слагаемое kx обращается в ноль и остаётся y = b, то есть точка пересечения имеет координаты (0; b). Именно поэтому свободный член называют ординатой пересечения с осью Oy. Например, при b = 3 прямая проходит через точку (0; 3).
Знак k задаёт направление прямой при движении слева направо. Если k положителен, при увеличении x значение y тоже растёт, поэтому прямая поднимается; если k отрицателен, y уменьшается и прямая опускается. Величина |k| показывает крутизну: при одинаковом изменении x более крупное изменение y означает более крутой наклон. При k = 0 получается горизонтальная прямая.
Пусть прямая проходит через точку (x₁; y₁) и имеет коэффициент k. Для любого другого её пункта отношение изменения ординаты к изменению абсциссы равно k, поэтому y − y₁ = k(x − x₁). Раскроем скобки: y − y₁ = kx − kx₁, откуда y = kx + (y₁ − kx₁). Это форма y = kx + b, где b = y₁ − kx₁.
Чтобы составить уравнение по двум точкам с разными абсциссами, сначала вычисляют k по отношению разностей координат. Затем подставляют координаты одной точки в запись y − y₁ = k(x − x₁); точка лежит на искомой прямой, значит её координаты удовлетворяют уравнению. Если x₁ = x₂, знаменатель формулы для k равен нулю, поэтому вычисление невозможно. В этом случае обе точки лежат на вертикальной прямой x = x₁.
| Случай или параметр | Запись | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Прямая с угловым коэффициентом | y = kx + b | Прямая с наклоном k и пересечением оси Oy в точке (0; b) |
| Уравнение через точку (x₁; y₁) и коэффициент k | y − y₁ = k(x − x₁) | Прямая проходит через заданную точку и имеет наклон k |
| Угловой коэффициент k | k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) | Определяет направление и крутизну наклона |
| Свободный член b | b = y при x = 0 | Ордината точки пересечения с осью Oy |
| Прямая через две точки при x₁ ≠ x₂ | y − y₁ = ((y₂ − y₁)/(x₂ − x₁))(x − x₁) | Задаёт прямую по двум точкам |
| Вертикальная прямая через две точки при x₁ = x₂ | x = x₁ | Все точки прямой имеют одну и ту же абсциссу |
Сначала выберите строку, которая соответствует известным данным: коэффициенту и точке либо двум точкам. Затем найдите нужный параметр и подставьте значения в соответствующую запись. Перед вычислением проверьте, не совпадают ли абсциссы двух заданных точек.
Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом 2, проходящей через точку (1; 3). Коэффициент уже известен, поэтому искать наклон не нужно. Используем форму уравнения, которая сразу учитывает заданную точку.
Полученная прямая проходит через заданную точку: при x = 1 выходит y = 3. Ответ: y = 2x + 1.
Найдём угловой коэффициент и уравнение прямой через точки (−2; 1) и (2; 5). Абсциссы различны, значит, можно применить формулу для k. Для проверки порядка вычитания будем везде брать координаты второй точки минус координаты первой.
Проверим вторую точку: при x = 2 уравнение даёт y = 5, значит, она тоже лежит на прямой. Ответ: k = 1, уравнение прямой — y = x + 3.
Составим уравнение прямой через точки (3; −1) и (3; 4). Обе абсциссы равны трём, хотя ординаты различаются. Следовательно, прямая проходит вертикально, и её точки имеют постоянную абсциссу.
Уравнение не зависит от y, потому что по вертикальной прямой можно двигаться вверх и вниз, не меняя абсциссу. Ответ: x = 3.
Угловой коэффициент k иногда путают со свободным членом b. Ошибка возникает потому, что оба числа стоят в короткой записи y = kx + b, но отвечают за разное: k задаёт наклон, b — пересечение с осью Oy. Проверьте себя подстановкой x = 0: получившееся значение y должно быть b.
При вычислении k можно вычесть координаты точек в разном порядке: например, взять y₂ − y₁, но x₁ − x₂. Тогда знак коэффициента изменится и наклон будет определён неверно. Выбирайте единый порядок, например «вторая точка минус первая», для обеих разностей. Проверка: если поменять порядок в обеих разностях одновременно, значение k не изменится.
Подставляя точку в y = kx + b, легко потерять знак отрицательной координаты или забыть скобки. Например, при x = −2 произведение kx нужно считать как k · (−2), а не как вычитание числа 2 без учёта его знака. Подставьте найденные k и b обратно и проверьте, что координаты исходной точки удовлетворяют уравнению.
Формулу k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) нельзя применять, если x₁ = x₂: получится деление на ноль. Такую попытку обычно делают, не проверив сначала координаты точек. До вычислений сравните абсциссы; если они равны, сразу запишите уравнение вертикальной прямой x = x₁.
Для работы с уравнением прямой нужно уметь читать координаты точек на плоскости и вычислять выражения с отрицательными числами. Полезно также знать уравнение прямой пропорциональности: оно является частным случаем записи y = kx + b при b = 0. Уравнение связывает числа и график: найденные значения k и b задают положение прямой, а точки графика удовлетворяют уравнению.
Прямые и их уравнения применяют при решении систем уравнений графическим и алгебраическим способами. Сравнение уравнений помогает разбирать взаимное расположение прямых: например, одинаковый наклон означает параллельность или совпадение. Поэтому умение составлять уравнение по точкам становится основой для дальнейших задач.
Графики y = 2x + 1 и y = −x + 1 пересекают ось Oy в одной точке, потому что у них одинаковое b = 1. Их наклоны различаются: первая прямая возрастает, а вторая убывает. График y = 2x − 1 параллелен y = 2x + 1, поскольку коэффициенты k одинаковы, но пересечение с осью Oy происходит в другой точке.
На графике можно сопоставить каждую часть уравнения с геометрическим свойством прямой. Коэффициент k меняет направление и крутизну, а b перемещает точку пересечения с осью Oy. Метка ниже указывает на график этих трёх прямых.
Что показывает угловой коэффициент прямой?
Он показывает наклон прямой: насколько меняется y при увеличении x на единицу. При k > 0 прямая возрастает слева направо, а при k < 0 убывает.
Как определить угловой коэффициент по двум точкам?
Если абсциссы точек различны, разделите разность ординат на разность абсцисс: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Важно вычитать координаты в числителе и знаменателе в одном и том же порядке.
Почему свободный член в уравнении y = kx + b показывает пересечение с осью Oy?
У любой точки на оси Oy абсцисса равна нулю. Если подставить x = 0 в уравнение, получится y = b, поэтому точка пересечения имеет координаты (0; b).
Как составить уравнение прямой, если известны две её точки?
Сначала найдите угловой коэффициент по формуле k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Затем подставьте k и координаты одной из точек в y − y₁ = k(x − x₁) и упростите запись.
Что делать, если абсциссы двух точек совпадают?
Такая прямая вертикальна, поэтому формула углового коэффициента неприменима: в ней пришлось бы делить на ноль. Запишите уравнение x = x₁, где x₁ — общая абсцисса точек.
§ 11. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
