§ 10. Общее уравнение прямой

Определения и обозначения

Общее уравнение прямой — запись Ax + By + C = 0, где A и B одновременно не равны нулю. Буквы x и y обозначают координаты любой точки плоскости, а равенство выполняется для точек, лежащих на прямой. Такая форма позволяет описывать прямую, даже если её нельзя записать как y = kx + b, например когда она вертикальна.

Коэффициенты общего уравнения — числа A, B и C, определяющие положение и направление прямой. Коэффициенты A и B связаны с наклоном, а C вместе с ними задаёт, где именно проходит прямая. Это нужно, чтобы по записи уравнения исследовать прямую без построения графика.

Нормальный вектор прямой — вектор (A, B), перпендикулярный этой прямой. Он показывает направление, поперечное к прямой, и помогает составлять уравнения перпендикулярных прямых. Поэтому коэффициенты при x и y можно читать не только как числа, но и как координаты вектора.

Направляющий вектор прямой — вектор (-B, A), параллельный прямой. Его координаты получаются из координат нормального вектора перестановкой и сменой знака у одной координаты. Такой вектор задаёт направление движения вдоль прямой и помогает находить её по точкам.

Как это устроено

Уравнение прямой описывает условие, которому должны удовлетворять координаты каждой её точки. Если известна точка (x₀, y₀) на прямой, то её координаты связаны линейным соотношением: A x₀ + B y₀ + C = 0. Коэффициенты выбирают так, чтобы этому соотношению удовлетворяли точки искомой прямой; для любой другой точки проверка устроена так же. Поэтому принадлежность точки можно установить подстановкой обеих координат в уравнение.

Коэффициенты A и B не могут одновременно быть нулевыми, потому что тогда координаты x и y исчезнут из уравнения. Останется только C = 0: при C ≠ 0 решений нет, а при C = 0 подходит любая точка плоскости. В первом случае получается пустое множество точек, во втором — вся плоскость, но не одна прямая. Условие A и B не равны нулю одновременно как раз исключает оба этих случая.

Чтобы понять роль вектора (A, B), возьмём две точки прямой и обозначим разность их координат через (Δx, Δy). Для обеих точек выполняется Ax + By + C = 0, поэтому при вычитании равенств свободный член исчезает и получается AΔx + BΔy = 0. Это скалярное произведение векторов (A, B) и (Δx, Δy), значит, оно равно нулю и векторы перпендикулярны. Вектор (A, B) нормальный, а (-B, A) направляющий, поскольку их скалярное произведение тоже равно нулю.

Если B ≠ 0, перенесём остальные слагаемые и разделим уравнение на B: y = −(A/B)x − C/B. Это вид y = kx + b, поэтому угловой коэффициент k = −A/B, а b = −C/B. Угловой коэффициент показывает, как меняется y при изменении x на единицу, и задаёт наклон прямой к оси Ox. При B = 0 делить на B нельзя: такая прямая вертикальна, и у неё нет углового коэффициента в этом виде.

Если A = 0, остаётся By + C = 0, откуда y = −C/B: постоянная координата y означает горизонтальную прямую. Если B = 0, получаем Ax + C = 0 и x = −C/A, то есть вертикальную прямую. Для двух прямых векторы (A₁, B₁) и (A₂, B₂) нормальны к ним: если A₁B₂ − A₂B₁ = 0, нормальные векторы коллинеарны и прямые параллельны или совпадают. Если A₁A₂ + B₁B₂ = 0, нормальные векторы перпендикулярны, поэтому и прямые перпендикулярны.

Свойства прямой Ax + By + C = 0

Чтобы определить свойства одной прямой, найдите нужные коэффициенты A и B и подставьте их в соответствующую строку таблицы. При сравнении двух прямых используйте коэффициенты с индексами 1 и 2. Условие параллельности допускает и совпадение прямых, поэтому для различения этих случаев сравните все коэффициенты уравнений.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, принадлежит ли точка M(2; 1) прямой 3x − 2y − 4 = 0. Нужно выяснить, превращают ли координаты точки уравнение в верное равенство. Если левая часть окажется равна нулю, точка лежит на прямой; иначе не лежит.

1. Подставим x = 2 и y = 1 вместо переменных: 3 · 2 − 2 · 1 − 4.
2. Вычислим значение левой части: 6 − 2 − 4 = 0.
3. Равенство выполняется, поэтому точка удовлетворяет уравнению прямой.

Ответ: точка M(2; 1) принадлежит прямой.

Задача 2. Составить общее уравнение прямой через A(1; 2) и B(4; −1). Сначала определим направление прямой, а затем найдём уравнение с помощью нормального вектора. Разность координат точек даёт направляющий вектор AB = (4 − 1; −1 − 2) = (3; −3). Перпендикулярный ему вектор можно взять равным (1; 1), поскольку 3 · 1 + (−3) · 1 = 0.

1. Используем вектор (1; 1) как нормальный: коэффициенты уравнения будут A = 1 и B = 1.
2. Подставим координаты точки A(1; 2) в x + y + C = 0: 1 + 2 + C = 0.
3. Получим C = −3, поэтому уравнение прямой имеет вид x + y − 3 = 0.
4. Проверим точку B: 4 + (−1) − 3 = 0. Она тоже удовлетворяет уравнению.

Ответ: x + y − 3 = 0.

Задача 3. Для прямой 3x − 4y + 7 = 0 составить уравнения параллельной и перпендикулярной ей прямых, проходящих через P(2; −1). Нормальный вектор исходной прямой — (3; −4). Для параллельной прямой сохраним этот вектор, а для перпендикулярной возьмём нормальный вектор (4; 3): скалярное произведение (3; −4) и (4; 3) равно 12 − 12 = 0.

1. У параллельной прямой коэффициенты при x и y будут 3 и −4. Подставим P: 3 · 2 − 4 · (−1) + C = 0, откуда C = −10.
2. Уравнение параллельной прямой: 3x − 4y − 10 = 0.
3. Для перпендикулярной прямой возьмём коэффициенты 4 и 3. Подстановка P даёт 4 · 2 + 3 · (−1) + C = 0, откуда C = −5.
4. Уравнение перпендикулярной прямой: 4x + 3y − 5 = 0.

Ответ: параллельная — 3x − 4y − 10 = 0; перпендикулярная — 4x + 3y − 5 = 0.

Типичные ошибки

Иногда полагают A = B = 0 и считают, что уравнение всё равно задаёт прямую. Ошибка возникает, если забыть, что после подстановки остаётся только C = 0: это либо невозможно, либо верно для всех точек. Проверка проста: убедитесь, что в записи есть хотя бы один ненулевой коэффициент при x или y.

Вектор (A, B) могут ошибочно назвать направляющим, потому что он непосредственно записан в уравнении. На самом деле он перпендикулярен прямой, а вдоль неё направлен вектор (-B, A). Чтобы проверить выбор, найдите скалярное произведение векторов: оно должно быть равно нулю для пары «нормальный — направляющий».

При переходе к виду y = kx + b часто забывают минус перед A/B и записывают k = A/B. Минус появляется, когда Ax переносят в правую часть уравнения. Проверьте себя, выразив y из исходной записи: должно получиться y = −(A/B)x − C/B.

При проверке принадлежности точки иногда подставляют только одно слагаемое или теряют знак у отрицательной координаты. Так проверяется не исходное уравнение, а другое выражение. Подставляйте всю пару координат в скобках, например y = (−1), а затем последовательно вычисляйте все слагаемые левой части.

Связь с другими темами

Для работы с общим уравнением нужно уметь читать координаты точки, понимать уравнение y = kx + b и проверять принадлежность точки графику. Здесь также используются координаты векторов, их скалярное произведение и признаки параллельности и перпендикулярности. Позже уравнения прямых помогут решать системы линейных уравнений графически и находить точки пересечения графиков. Они нужны и при изучении расстояния от точки до прямой.

Что запомнить

• Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0.
• Коэффициенты A и B не могут одновременно равняться нулю.
• Вектор (A, B) перпендикулярен прямой.
• Вектор (-B, A) является направляющим вектором прямой.
• Если B не равно нулю, то угловой коэффициент равен -A/B.
• При A = 0 прямая горизонтальна, а при B = 0 — вертикальна.
• Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение в верное равенство.