"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Уравнение фигуры связывает координаты точек с их принадлежностью этой фигуре. Если координаты точки удовлетворяют уравнению, точка лежит на фигуре; если не удовлетворяют — не лежит. Поэтому геометрическое условие можно записать алгебраически, а решения уравнения изобразить точками на координатной плоскости. Такой подход помогает описывать фигуры и проверять, принадлежит ли им заданная точка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение фигуры — уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и которому не удовлетворяют координаты точек вне неё. Иными словами, уравнение позволяет отличить точки фигуры от остальных точек плоскости. Оно нужно, чтобы записать геометрическое условие с помощью чисел и букв.
Координаты точки — пара чисел, задающая положение точки на координатной плоскости. В записи (a; b) первое число a — абсцисса, а второе b — ордината. При проверке уравнения вместо x подставляют абсциссу, а вместо y — ординату, поэтому важно соблюдать порядок координат.
Множество решений уравнения — все пары чисел, при подстановке которых уравнение становится верным. Каждая пара (x; y) изображается на координатной плоскости отдельной точкой. Это понятие нужно, чтобы перейти от вычислений к геометрическому представлению уравнения.
График уравнения — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Значит, чтобы получить график, нужно изобразить все точки, удовлетворяющие уравнению. Для уравнения фигуры график и есть соответствующая фигура.
Уравнение связывает координаты точки с её принадлежностью фигуре: для точки фигуры равенство верно, а для точки вне фигуры — нет. Это работает потому, что координаты полностью задают положение точки, а условие уравнения проверяет именно эти координаты. Например, если фигура состоит из точек на заданном расстоянии от центра, условие расстояния можно выразить через координаты каждой из них.
Уравнение с двумя переменными можно рассматривать геометрически, потому что каждое его решение — пара чисел. Такая пара задаёт точку: первое число откладывают по горизонтальной оси, второе — по вертикальной. Если решений несколько, каждой паре соответствует своя точка, а все они вместе образуют график уравнения.
При проверке заданной точки её координаты подставляют в уравнение, поскольку уравнение и определяет, какие пары чисел подходят. Для точки (a; b) вычисляют левую и правую части после подстановки. Если они равны, точка принадлежит фигуре, заданной уравнением; если равенства нет, не принадлежит.
Чтобы найти уравнение фигуры по описанию, обозначают координаты произвольной её точки буквами x и y. Затем геометрическое условие записывают через эти координаты: например, расстояние между точками выражают формулой расстояния. Так получают равенство, которому должны удовлетворять координаты всех точек фигуры, а не только одной выбранной точки.
Одно уравнение можно понимать и алгебраически, и геометрически, потому что его решения одновременно являются парами чисел и координатами точек. В алгебре мы выясняем, какие пары делают равенство верным; в геометрии изображаем соответствующие пары точками. Поэтому запись уравнения может описывать целое множество точек, а не одну точку.
| Что рассматриваем | Алгебраический смысл | Геометрический смысл | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Уравнение фигуры | Условие для координат x и y | Задаёт точки, принадлежащие фигуре | Проверить, какие пары удовлетворяют равенству |
| Решение уравнения | Пара чисел, превращающая равенство в верное | Точка с этими координатами | Подставить пару вместо x и y |
| Точка фигуры | Её координаты удовлетворяют уравнению | Точка лежит на фигуре | Подстановка даёт верное равенство |
| Точка вне фигуры | Её координаты не удовлетворяют уравнению | Точка не лежит на фигуре | Подстановка даёт неверное равенство |
Начни с алгебраического смысла: подставь координаты и проверь равенство. Затем прочитай результат геометрически — как указание, лежит ли соответствующая точка на фигуре. Так таблица помогает не путать пару чисел, решение уравнения и точку на плоскости.
Условие. Дана фигура уравнением x + y = 5. Принадлежит ли ей точка A(2; 3)? Для решения достаточно выяснить, являются ли координаты A решением данного уравнения. Подставляем оба числа в том порядке, в котором они записаны в координатах.
Ответ: точка A принадлежит фигуре.
Условие. Запишите уравнение окружности с центром O(0; 0) и радиусом 3, используя условие, что расстояние от любой её точки до центра равно 3. Обозначим координаты произвольной точки окружности через (x; y). Так мы получим условие, общее для всех точек этой окружности.
Ответ: уравнение окружности — x² + y² = 9.
Условие. Определите, какую фигуру задаёт уравнение x² + y² = 9, и проверьте, лежит ли на ней точка B(−3; 0). Сначала распознаем знакомое геометрическое условие, затем отдельно подставим координаты точки. Такое разделение не позволяет спутать определение фигуры с проверкой конкретной точки.
Ответ: уравнение задаёт окружность радиуса 3 с центром O(0; 0); точка B лежит на ней.
Ошибка — считать, что уравнению фигуры должны удовлетворять координаты всех точек плоскости. Тогда теряется смысл уравнения: его решения соответствуют только точкам заданной фигуры. Такую ошибку допускают, если воспринимают уравнение как общее правило для любых координат. Проверь себя: подставь координаты точки, заведомо не лежащей на фигуре, и посмотри, обязано ли равенство выполняться.
Ошибка — перепутать абсциссу и ординату при подстановке. Для записи (a; b) нужно поставить a вместо x, а b вместо y, потому что порядок координат связан с горизонтальной и вертикальной осями. Путаница особенно вероятна, если в уравнении переменные стоят не в том порядке, в каком записана точка. Проверь себя, подписав каждую координату до подстановки.
Ошибка — проверить только одно слагаемое уравнения и по нему решить, принадлежит ли точка фигуре. Принадлежность определяется всем равенством, поэтому нужно подставить обе координаты и вычислить обе части. Часто эту ошибку допускают, когда первое вычисление кажется убедительным. Проверь себя: в конце запиши, верно ли равенство целиком, а не отдельная его часть.
Ошибка — принять пару чисел за решение после преобразований, не сверив её с исходным уравнением. При преобразовании могли быть выполнены действия, которые не сохраняют равносильность, например возведение обеих частей в квадрат может добавить лишние решения. Чтобы проверить себя, подставь найденную пару в исходное уравнение и, если оно задаёт фигуру, сравни с исходным геометрическим условием.
Для работы с уравнениями фигуры нужны координатная плоскость, запись координат точки и подстановка чисел в выражения с переменными. При составлении уравнений часто используют формулу расстояния между точками: она позволяет переводить геометрические условия в равенства с координатами. Так можно описывать окружность и другие фигуры. Представление уравнения как множества точек пригодится при изучении графиков функций и аналитических методов решения геометрических задач.
Что называют уравнением фигуры?
Это уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и не удовлетворяют координаты точек вне неё. Оно переводит условие принадлежности фигуре на язык координат.
Как проверить, принадлежит ли точка фигуре, заданной уравнением?
Если точка имеет координаты (a; b), подставь a вместо x и b вместо y. Затем проверь, стало ли равенство верным: если да, точка принадлежит фигуре, если нет — не принадлежит.
Почему решение уравнения с двумя переменными можно изобразить точкой?
Решение такого уравнения — пара чисел (x; y). Любая пара чисел задаёт точку на координатной плоскости: первое число является абсциссой, второе — ординатой.
Может ли одно уравнение задавать несколько точек?
Да, уравнение с двумя переменными часто имеет несколько решений, а иногда и бесконечно много. Каждому решению соответствует точка, поэтому все такие точки вместе образуют график уравнения.
Как составить уравнение фигуры по её геометрическому условию?
Обозначь координаты произвольной точки фигуры через x и y. Запиши данное геометрическое условие с помощью этих координат и упрости полученное равенство, сохраняя его смысл.
§ 9. Уравнение фигуры
