§ 8. Расстояние между двумя точками с данными координатами. Деление отрезка в данном отношении

Определения и обозначения

Координаты точки на плоскости — числа, которые задают её положение относительно горизонтальной и вертикальной координатных осей. Например, A(x₁; y₁) означает, что точка A имеет координату x₁ по горизонтали и y₁ по вертикали. Такая запись помогает описывать положение точки числами, а не только рисунком. По координатам можно вычислять расстояния и находить новые точки.

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Если концы отрезка обозначены A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то расстояние между ними записывают AB. Индексы 1 и 2 указывают, к какой точке относится каждая координата. Эта запись позволяет подставить координаты концов в общую формулу.

Точка C делит отрезок AB в отношении m:n, если она лежит на отрезке, а длины его частей связаны равенством AC:CB = m:n. Здесь m и n — положительные числа: они показывают, во сколько раз части отрезка соотносятся друг с другом. Например, отношение 1:2 означает, что CB вдвое длиннее AC. По отношению можно определить положение C между концами отрезка.

Координаты середины отрезка — координаты точки, которая делит этот отрезок пополам. Её положение соответствует отношению 1:1, поэтому расстояния от середины до обоих концов равны. Каждая координата середины равна полусумме соответствующих координат концов. Это частный и особенно простой случай деления отрезка.

Как это устроено

Чтобы найти расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), представьте прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — отрезок AB. Его катеты идут параллельно координатным осям, поэтому длина горизонтального катета равна модулю разности x₂ − x₁, а вертикального — модулю разности y₂ − y₁. Катеты перпендикулярны, так как координатные оси образуют прямой угол. Значит, длину AB можно найти по теореме Пифагора.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Извлекая корень, получаем AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Возведение разностей в квадрат избавляет от необходимости отдельно выяснять, какая координата больше: квадрат числа неотрицателен и одинаков для чисел с противоположными знаками. Если поменять точки местами, обе разности только изменят знак, а квадраты останутся прежними.

Для деления отрезка сначала полезно понять, какие части задаёт отношение AC:CB = m:n. Доля AC составляет m частей, а доля CB — n частей; следовательно, координаты C должны быть ближе к A, если AC короче CB. Координата C получается как среднее координат концов с весами: координаты A умножаются на n, а координаты B — на m. Поэтому xC = (n·x₁ + m·x₂)/(m+n), yC = (n·y₁ + m·y₂)/(m+n): больший вес получает конец, к которому точка расположена ближе.

Проверка простых отношений помогает запомнить порядок коэффициентов. Если m = n, обе координаты концов получают одинаковые веса, и формулы превращаются в полусуммы — координаты середины. При отношении 1:2 точка ближе к A, поэтому вес координат A равен 2, а вес координат B — 1. После вычисления сравните координаты C с координатами концов: при расположении на отрезке каждая координата должна находиться между соответствующими координатами A и B. Затем можно вычислить AC и CB и проверить их отношение.

Формулы для точек на координатной плоскости

Сначала выберите в таблице нужную величину и сверьте обозначения с условием задачи. Для точки деления особенно внимательно сопоставьте порядок частей AC и CB с числами m и n. После вычислений используйте последний столбец как короткий план проверки ответа.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Здесь координаты концов уже даны, поэтому подходит формула расстояния. Разности координат равны 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4. Сначала найдём квадраты этих разностей, затем извлечём корень из их суммы.

1. Записываем формулу: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
2. Подставляем координаты: AB = √((4 − 1)² + (6 − 2)²).
3. Вычисляем: AB = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Ответ: AB = 5. Значение положительно, как и должно быть для длины отрезка. Здесь катеты получились 3 и 4, а найденное расстояние — 5.

Задача 2. Найдите координаты C, если A(−2; 1), B(4; 7) и AC:CB = 1:2. В отношении m:n здесь m = 1, n = 2: часть AC короче части CB. Значит, C должна быть ближе к A. По формуле координаты A умножаем на 2, а координаты B — на 1.

1. Находим xC: xC = (2·(−2) + 1·4)/(1 + 2) = 0.
2. Находим yC: yC = (2·1 + 1·7)/(1 + 2) = 3.
3. Получаем C(0; 3). Проверяем длины: AC = √((0 + 2)² + (3 − 1)²) = √8, CB = √((4 − 0)² + (7 − 3)²) = √32.

Поскольку √32 = 2√8, отношение AC:CB действительно равно 1:2. Координаты C находятся между соответствующими координатами концов. Ответ: C(0; 3).

Задача 3. Точка C(2; 3) делит AB в отношении AC:CB = 2:1, а A(−1; 0). Требуется найти B(x₂; y₂). В формуле деления известны координаты C и A, а координаты B неизвестны. При m = 2 и n = 1 имеем xC = (x₁ + 2x₂)/3 и yC = (y₁ + 2y₂)/3.

1. Для координаты x: 2 = (−1 + 2x₂)/3, откуда 6 = −1 + 2x₂ и x₂ = 7/2.
2. Для координаты y: 3 = (0 + 2y₂)/3, откуда 9 = 2y₂ и y₂ = 9/2.
3. Следовательно, B(7/2; 9/2). Проверяем: середина отрезка с концами A и B имела бы координаты (5/4; 9/4), поэтому C не середина; заданное отношение 2:1 требует точку ближе к B.

Ответ: B(7/2; 9/2). Координаты C лежат между соответствующими координатами A и B, что согласуется с положением точки на отрезке. Чтобы подтвердить отношение полностью, можно подставить найденные координаты в формулу деления или вычислить обе длины.

Типичные ошибки

При вычислении расстояния иногда меняют местами координаты в разностях или забывают возвести разность в квадрат. Знак катета не важен, но без квадрата сумма может оказаться неверной или зависеть от порядка точек. Ошибка возникает, если механически подставлять числа и не соотносить их с теоремой Пифагора. Проверьте, что каждую разность координат возвели в квадрат и что перестановка A и B не меняет ответ.

В формуле деления отрезка часто ставят m при координатах A и n при координатах B. Это происходит из-за того, что коэффициенты запоминают по порядку отношения, не замечая: точка ближе к концу, который получает больший вес. При AC:CB = m:n координаты A умножаются на n, а координаты B — на m. Чтобы проверить себя, разберите отношение 1:2: результат должен лежать ближе к A.

Отношение 1:2 иногда принимают за деление пополам. Но числа 1 и 2 задают разные длины частей, а равными они становятся только при отношении 1:1. Путаница возникает, когда любое деление отрезка считают делением на две части одинаковой длины. Сверьте отношение с условием: середина допустима только при равных числах.

Найдя координаты точки деления, можно забыть проверить, действительно ли точка лежит на отрезке и соблюдает ли заданное отношение. Тогда даже верно выполненные действия не гарантируют, что выбран нужный порядок коэффициентов или не допущена арифметическая ошибка. Сначала убедитесь, что координаты точки находятся между координатами концов, затем вычислите AC и CB. Их отношение должно совпасть с условием.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужны знания о координатной плоскости и записи координат точки. Расстояние выводится из теоремы Пифагора, поэтому важно уверенно возводить числа в квадрат и извлекать корень. При делении отрезка встречаются дроби и действия с ними. Эти навыки позволяют не только подставить числа, но и объяснить, почему результат подходит.

Формулы применяются в координатном методе: геометрические свойства фигур можно исследовать через координаты их точек. С их помощью находят длины отрезков и середины, а также проверяют взаимное расположение точек. Позже координаты и расстояния пригодятся при изучении уравнений прямой и окружности. Так геометрические задачи связываются с вычислениями и алгебраическими выражениями.

Что запомнить

• Расстояние между точками вычисляют по теореме Пифагора.
• AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Расстояние неотрицательно и не зависит от того, какую точку считать первой.
• При AC:CB = m:n координаты C равны ((n·x₁ + m·x₂)/(m+n); (n·y₁ + m·y₂)/(m+n)).
• В формуле деления отрезка коэффициент при координатах A соответствует n, а при координатах B — m.
• При отношении 1:1 точка деления — середина отрезка.
• Координаты середины — полусуммы соответствующих координат концов.