1.5. От точки к телу

Определения и обозначения

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная поверхностью. Простыми моделями тел служат коробка, мяч или банка: у них есть форма и объём. В геометрии мы не изучаем, из чего сделан предмет, а рассматриваем его форму. Понятие тела нужно, чтобы описывать объёмные предметы с помощью геометрии.

Поверхность тела — граница, которая отделяет тело от окружающего пространства. У коробки она состоит из плоских граней, у цилиндрической банки есть боковая поверхность и основания, а у мяча поверхность округлая. Поверхность помогает определить, где заканчивается тело и начинается внешнее пространство. Сама граница не включает внутреннюю часть тела.

Пространственная фигура — геометрический объект, который не обязательно целиком лежит в одной плоскости. Например, модель коробки имеет длину, ширину и высоту. Она отличается от рисунка на листе тем, что занимает пространство. Это понятие позволяет говорить об объёмных формах, не привязываясь к конкретному предмету.

Плоская фигура — фигура, все точки которой принадлежат одной плоскости. Квадрат, треугольник и круг можно изобразить на листе, который условно считают частью плоскости. Плоские фигуры могут быть частями поверхности тела, например его гранями. Но отдельная грань не становится всем телом: у неё нет объёма.

Как это устроено

Геометрические рассуждения начинаются с простых объектов: точек, линий и отрезков. Из них складываются более сложные фигуры, которые можно начертить на плоскости. Но предметы вокруг нас не всегда плоские: у них есть глубина, и они занимают место. Поэтому для описания таких предметов геометрия переходит от плоских фигур к телам.

Плоская фигура и тело различаются тем, где расположены их точки. Все точки плоской фигуры можно разместить в одной плоскости, например на листе бумаги. Объёмное тело так расположить нельзя: часть его точек окажется вне любой выбранной плоскости. Поэтому рисунок коробки на бумаге — плоское изображение, а сама коробка — предмет с объёмом.

Чтобы говорить о внутренней части тела и о пространстве вокруг него, нужно понимать, где проходит граница между ними. Эту границу образует поверхность тела. Например, поверхность коробки не даёт её внутреннему пространству смешаться с внешним, а поверхность мяча отделяет его форму от воздуха вокруг. Так понятие поверхности помогает описывать тело, не смешивая его границу с тем, что находится внутри.

Реальный предмет слишком подробен для геометрического описания: у него есть материал, цвет, узоры и особенности изготовления. Чтобы изучать форму, предмет мысленно упрощают и создают геометрическую модель. У коробки оставляют форму и расположение граней, а сведения о картоне и рисунке на ней отбрасывают. Такое упрощение полезно, потому что позволяет сосредоточиться на свойствах, важных для задачи.

Тела не заменяют уже изученные фигуры, а опираются на них. Например, поверхность многогранного тела состоит из плоских частей, а при описании его границ пригодятся отрезки и точки. Зная их, легче понять, как устроены грани, где они соединяются и какие части образуют тело. Поэтому переход к пространственным объектам продолжается знакомой работой с точками, прямыми, отрезками и плоскими фигурами.

Плоские фигуры и геометрические тела

Сначала определите, можно ли расположить все точки объекта в одной плоскости. Затем проверьте, занимает ли он часть пространства и чем ограничен. Так таблица помогает не спутать плоскую модель с объёмным предметом.

Разбор задач

Задача 1. Назовите плоскую фигуру, которая может служить моделью очертания монеты, если смотреть на неё прямо. Нужно рассмотреть только видимый контур, а не толщину предмета. Поэтому сначала определим, что именно представляет собой плоская модель.

1. Монета в действительности объёмная, поскольку у неё есть толщина.
2. При взгляде прямо мы рассматриваем её очертание на плоскости, не учитывая толщину.
3. Очертание круглой монеты можно представить окружностью, а её плоскую лицевую часть — кругом.

Ответ: моделью очертания служит окружность; если имеется в виду вся видимая плоская область монеты, это круг. Здесь мы не называем саму монету плоской фигурой. Мы заменяем её подходящей плоской моделью для выбранного способа рассмотрения.

Задача 2. Для коробки укажите геометрическое тело, его поверхность и плоские фигуры, из которых составлены его грани. Важно различить саму коробку как объёмную форму и части, которыми она ограничена. Модель зависит от формы коробки, поэтому рассмотрим обычную прямоугольную коробку.

1. Коробку мысленно освобождаем от материала и деталей, оставляя её форму; получаем модель прямоугольного параллелепипеда.
2. Его поверхность — граница тела, образованная всеми гранями вместе.
3. Каждая грань такой модели является прямоугольником; противоположные грани попарно равны.

Ответ: тело — прямоугольный параллелепипед, поверхность — совокупность его граней, а грани — прямоугольники. Если коробка имеет другую форму, модель и вид граней могут измениться. Отдельный прямоугольник описывает только одну грань, а не всю коробку.

Задача 3. Сравните мяч и рисунок круга: объясните, какой объект является телом, какой — плоской фигурой и что может служить моделью поверхности мяча. Не следует принимать изображение за сам предмет. Сначала определим, что занимает пространство, а что лежит на плоскости.

1. Мяч имеет объём, поэтому его геометрическая модель — шар, то есть пространственное тело.
2. Рисунок круга целиком расположен в плоскости и является плоской фигурой.
3. Поверхность мяча можно представить поверхностью шара; на плоском рисунке её целиком изобразить нельзя.

Ответ: мяч моделируют шаром, рисунок круга — плоская фигура, а поверхность мяча моделируют поверхностью шара. Круг не является поверхностью мяча: у него иное расположение точек. Различие видно по тому, можно ли объект целиком поместить в одну плоскость.

Типичные ошибки

Ошибка — называть поверхность телом. Так говорят, потому что при осмотре предмета обычно видна именно его внешняя оболочка. Но поверхность только ограничивает тело и не включает его внутреннюю часть. Проверь себя: если мысленно убрать границу, останется ли часть пространства внутри? Если да, тело и его поверхность — не одно и то же.

Ошибка — считать любой предмет готовой геометрической фигурой. В реальности у вещи есть материал, цвет и неровности, которые обычно не относятся к изучаемой форме. Геометрическая модель появляется после упрощения, а не просто из-за того, что предмет имеет очертания. Проверь себя: назови, какие свойства предмета ты оставил и какие отбросил.

Ошибка — путать круг и шар. Оба слова могут ассоциироваться с округлой формой, поэтому их легко смешать. Однако круг — плоская фигура, а шар — пространственное тело. Проверь себя: можно ли все точки объекта расположить в одной плоскости? Для круга можно, для шара — нет.

Ошибка — считать, что одна плоская часть поверхности описывает всё тело. Так бывает, когда внимание сосредоточено на одной видимой грани коробки. Но остальные части поверхности тоже важны, а их расположение и соединение образуют общую форму тела. Проверь себя: перечислил ли ты все части поверхности и учёл ли, как они соприкасаются?

Связь с другими темами

Чтобы перейти от плоских фигур к телам, нужно уметь распознавать точки, прямые, отрезки и знакомые фигуры. Эти знания помогают описывать части и границы объёмных объектов. При изучении многогранников к ним добавятся грани, рёбра и вершины: грани будут плоскими фигурами, а рёбра и вершины — элементами их соединения. Понятия тела и поверхности также пригодятся, когда нужно построить геометрическую модель предмета или разобраться в задаче об объёмной фигуре.

Что запомнить

• Геометрия рассматривает не только плоские фигуры, но и тела.
• Плоская фигура целиком лежит в одной плоскости.
• Геометрическое тело занимает часть пространства.
• Поверхность отделяет тело от окружающего пространства.
• Реальный предмет можно заменить геометрической моделью.
• При построении модели сохраняют форму, отвлекаясь от несущественных свойств.