"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Конечная геометрия — модель, в которой задано конечное число точек и прямых. Прямые здесь не обязательно изображаются бесконечными линиями: главное — какие точки им принадлежат по правилам модели. Такие модели нужны, чтобы на небольшом числе объектов проверять геометрические утверждения, например существование единственной прямой через две точки. Рисунок помогает представить модель, но точным описанием служит список объектов и отношений между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конечная геометрия — это геометрия, в которой рассматривается конечное число точек и прямых. Конечность относится к количеству объектов модели, а не к длине отрезков или к тому, насколько далеко можно продолжить линию на обычном чертеже. Такое определение позволяет изучать геометрические отношения на небольшом, полностью перечисленном наборе.
Точка конечной геометрии — один из объектов заданного конечного множества. Её свойства определяются не внешним видом, а правилами выбранной модели: точка может лежать на некоторых прямых и не лежать на других. Поэтому точка здесь обозначает элемент системы, а не обязательно привычную отметку на плоскости.
Прямая конечной геометрии — объект, которому по правилам модели принадлежат некоторые точки. На рисунке её можно показать отрезком или линией, но это лишь условное изображение. Главное свойство прямой задаётся списком принадлежащих ей точек.
Принадлежность точки прямой — отношение между двумя объектами модели. Если точка A лежит на прямой l, пишут A ∈ l, а если не лежит — A ∉ l. В конкретном примере это устанавливают по списку: находят прямую и смотрят, записана ли рядом с ней точка A.
Конечную геометрию задают перечислением всех точек, всех прямых и отношений принадлежности. Например, можно назвать точки A, B, C, D, а затем указать: прямая l содержит A и B, а прямая m содержит B, C и D. Такое описание однозначно показывает состав модели, поэтому разные ученики будут проверять одни и те же свойства.
Одного рисунка недостаточно, потому что изображение может быть условным. Точку специально располагают рядом с линией или на ней только для удобства, а небольшая неточность чертежа способна изменить впечатление. Принадлежность проверяют не по расстоянию на бумаге, а по данным списка, где явно указаны точки каждой прямой.
Геометрическое утверждение в конечной модели проверяют перебором всех подходящих объектов. Если изучается принадлежность, находят нужную пару «точка — прямая»; если речь идёт о двух точках, просматривают все прямые и ищут те, где записаны обе точки. Полный перебор возможен именно потому, что набор объектов конечен.
От привычной геометрии плоскости конечная геометрия отличается прежде всего числом объектов и способом задания прямых. В обычной геометрии прямая обычно понимается как бесконечная линия, а в конечной модели её описывает набор принадлежащих точек. При этом отдельные отношения могут сохраняться: например, можно проверять, лежит ли точка на прямой или проходят ли через две точки общие прямые.
Конечные геометрии полезны как небольшие испытательные модели для геометрических правил. На нескольких точках легче увидеть, от каких условий зависит утверждение и почему нельзя делать вывод по одному удачному примеру. Если свойство проверено для всех случаев модели, можно точно сказать, выполняется ли оно в этой модели.
| Что указываем | Что записываем | Что проверяем |
|---|---|---|
| Точки | Перечень всех точек модели | Что учтены все точки и нет лишних |
| Прямые | Перечень прямых модели | Что каждая прямая задана по правилам модели |
| Принадлежность | Какие точки лежат на каждой прямой | Какие точки принадлежат каждой прямой |
| Утверждения | Правило или свойство, которое проверяется | Выполняется ли оно для всех объектов модели |
Пользуйтесь таблицей как последовательной проверкой описания. Сначала убедитесь, что перечислены все точки и прямые, затем сопоставьте каждую прямую с её точками. После этого можно проверять утверждение, перебирая все случаи, которые в нём упоминаются.
Условие. В модели точки A, B, C, D, а прямые заданы так: l = {A, B}, m = {B, C, D}, n = {A, C}. Определите, принадлежит ли точка C прямой m.
Ответ. Да, C ∈ m, потому что точка C указана в составе прямой m. Положение отметки C на рисунке для ответа не требуется.
Условие. В модели прямые l = {A, B}, m = {B, C, D}, n = {A, C}, p = {A, B, D}. Выясните, какие прямые проходят через точки A и B.
Ответ. Через точки A и B проходят прямые l и p. В этой модели таких прямых две, поэтому утверждение о единственности прямой через эти точки здесь не выполняется.
Условие. Для конечной модели нужно проверить утверждение: через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Пусть точки модели A, B, C, а прямые l = {A, B}, m = {B, C}, n = {A, C}.
Ответ. Утверждение выполняется: каждая пара различных точек лежит ровно на одной прямой. Проверка завершена только после рассмотрения всех трёх пар, а не одной выбранной пары.
Ошибка 1. Считать, что прямая в любой геометрии обязана быть бесконечной линией на рисунке. Так думают из-за привычного образа прямой в геометрии плоскости. Проверьте себя: найдите не форму изображения, а список точек, принадлежащих объекту.
Ошибка 2. Определять принадлежность только по расположению отметок на чертеже. Условный рисунок может быть неточным или специально изменённым для наглядности. Чтобы проверить ответ, обратитесь к записи модели и найдите нужную точку в списке прямой.
Ошибка 3. Проверить несколько удобных случаев и объявить утверждение доказанным. Такая проверка не исключает, что ошибка скрывается в непроверенной паре точек или на другой прямой. Составьте полный перечень подходящих случаев и поставьте отметку напротив каждого.
Ошибка 4. Путать конечное число объектов с конечной длиной прямой. У конечной геометрии может быть конечное число прямых, но слово «конечная» не сообщает длину каждой из них. Для самопроверки отдельно ответьте на два вопроса: сколько объектов перечислено и как они заданы.
До изучения конечных геометрий нужно знать понятия точки, прямой и принадлежности точки прямой. Также пригодятся обозначения A ∈ l и A ∉ l, поскольку они кратко описывают отношения между объектами. Без этих понятий трудно читать таблицы и списки модели.
Конечные модели связаны с геометрическими аксиомами и общими свойствами фигур. В них можно на небольшом числе объектов проверить, какие выводы следуют из принятых правил, а какие требуют дополнительных условий. Это помогает отличать доказательство от проверки отдельных примеров.
Что называют конечной геометрией?
Конечной геометрией называют модель, в которой задано конечное число точек и прямых. Для каждой прямой указывают, какие точки ей принадлежат.
Как задать прямые в конечной геометрии?
Сначала перечисляют все точки и прямые модели, затем для каждой прямой записывают принадлежащие ей точки. Такой список важнее условного расположения объектов на чертеже.
Можно ли доверять рисунку конечной модели?
Рисунок полезен для наглядности, но он может быть условным и не отражать все отношения принадлежности. Проверять их нужно по точному описанию модели.
Как проверить утверждение в конечной геометрии?
Нужно перебрать все подходящие точки и прямые, предусмотренные моделью. Затем для каждого случая проверить, выполняется ли утверждение и нет ли исключений.
Почему конечная геометрия отличается от обычной геометрии плоскости?
В ней конечное число объектов, а прямые задаются правилами модели и списками точек. При этом некоторые привычные отношения, например принадлежность точки прямой, могут сохраняться.
9.3. Конечные геометрии
