9. Аксиоматики

Определения и обозначения

Аксиома — исходное утверждение, которое принимают без доказательства. Оно нужно как начальная опора: без таких положений каждое рассуждение пришлось бы обосновывать через предыдущее, и цепочка не имела бы начала. Аксиомы принимают не наугад, а как основания выбранной геометрической системы.

Аксиоматика — набор исходных понятий и аксиом, из которых логически строят геометрию. Она задаёт правила, на которые можно опираться при рассуждении. Благодаря этому понятно, откуда берутся выводы и какие положения используются.

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством, опираясь на аксиомы и ранее доказанные результаты. Теорема отличается от исходного положения тем, что её требуется обосновать. Она позволяет получать новые знания из уже известных.

Доказательство — последовательность логически связанных рассуждений, показывающая, почему утверждение следует из принятых оснований. Каждый шаг должен опираться на условие, аксиому или ранее доказанный результат. Доказательство нужно, чтобы проверить не только ответ, но и весь путь к нему.

Как это устроено

Геометрическое рассуждение начинается с исходных понятий и аксиом. Не всякое понятие можно определить через более простое: тогда пришлось бы объяснять каждое новое слово через предыдущее без конца. Так же нельзя доказать каждое утверждение, опираясь только на другие доказанные утверждения, — цепочка не имела бы начала. Поэтому некоторые понятия принимают как исходные, а аксиомы задают первые правила рассуждения.

Аксиомы описывают отношения между геометрическими объектами. Например, исходное положение о том, что через две различные точки проходит единственная прямая, связывает точки и прямые. Слова «точка лежит на прямой» означают, что точка принадлежит этой прямой; это отношение тоже можно описывать аксиомами. Благодаря таким правилам геометр рассуждает не только о нарисованных объектах, но и о любых объектах, удовлетворяющих исходным положениям.

Теорему не принимают на веру: из её условий нужно вывести заключение. Сначала выясняют, что дано, затем выбирают подходящие аксиомы или известные теоремы и связывают их с условием. Например, если нужно показать, что прямые не могут иметь две общие точки, предполагают обратное: обе прямые проходят через те же две точки. Но через две различные точки проходит только одна прямая, значит, две прямые совпадают. Это противоречит тому, что они различны.

Аксиоматика позволяет проверить, на каких основаниях построено рассуждение. Для каждого шага можно спросить: следует ли он из условия, аксиомы или уже доказанной теоремы? Такая проверка обнаруживает круговое доказательство — ситуацию, когда утверждение обосновывают с помощью самого этого утверждения. Если же основание каждого шага понятно, вывод можно проверить независимо от того, насколько убедительно выглядит рисунок.

Разные геометрические системы могут опираться на разные аксиомы. Тогда некоторые результаты в них будут различаться, потому что вывод зависит от принятых исходных положений. Это не означает, что в одной системе доказательство «неправильное»: важно, чтобы рассуждение последовательно следовало её аксиомам. Поэтому смена исходных положений способна привести к другой геометрии.

Роль исходных понятий, аксиом и теорем в геометрии

В таблице показано, чем отличаются элементы геометрического рассуждения и какую работу выполняет каждый из них. Сопоставляйте не только определения, но и то, требуется ли доказательство. Так легче проверить, на каком основании сделан вывод.

При решении задачи сначала найдите исходные данные и требуемый вывод, а затем определите, какие основания можно использовать. Если утверждение уже доказано, оно может служить опорой для следующего доказательства. Не путайте отсутствие доказательства в конкретной задаче с тем, что утверждение является аксиомой.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какое утверждение является аксиомой, а какое — теоремой: «Через две различные точки проходит единственная прямая»; «Вертикальные углы равны». Объясним выбор, а не будем судить по тому, насколько знакомо или очевидно звучит утверждение.

1. Первое положение берётся как исходное для геометрических рассуждений о точках и прямых. Значит, в принятой системе это аксиома.
2. Равенство вертикальных углов можно вывести из свойств смежных углов и их сумм. Следовательно, это утверждение обосновывают, то есть оно является теоремой.

Ответ: единственная прямая через две точки — аксиома; равенство вертикальных углов — теорема. Важно: статус утверждения определяется его ролью в системе, а не тем, доказывают ли его в каждом отдельном упражнении.

Задача 2. Используя утверждение, что через две различные точки проходит единственная прямая, объясните, почему две различные прямые не могут иметь две общие точки. Нужно связать возможные общие точки с условием аксиомы.

1. Предположим, что две различные прямые имеют две общие точки. Обозначим их A и B; точки A и B различны.
2. Тогда обе прямые проходят через точки A и B. Но через две различные точки проходит единственная прямая.
3. Значит, прямые должны совпадать, а это противоречит условию, что они различны.

Ответ: две различные прямые не могут иметь две общие точки. Вывод получен из аксиомы и условия о различии прямых, а не только из вида чертежа.

Задача 3. Ученик утверждает: «Две прямые пересекаются не более чем в одной точке», но не приводит обоснования. Составим краткое доказательство по схеме «допустим обратное — применим аксиому — получим противоречие».

1. Предположим обратное: две прямые имеют две общие точки A и B. Поскольку это разные точки, через них проходит единственная прямая.
2. Обе прямые проходят через A и B, значит, по аксиоме они должны совпасть.
3. Если прямые совпадают, они не являются двумя различными пересекающимися прямыми. Получили противоречие с предположением, что это две разные прямые.

Ответ: две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке. Исходное положение — аксиома о единственной прямой через две различные точки; вывод — у двух различных прямых не может быть двух общих точек.

Типичные ошибки

Считать аксиомой любое утверждение из учебника. Утверждение может быть определением, теоремой или следствием, а не исходным положением. Ошибку допускают, принимая важность факта за его роль в системе. Проверьте себя: выясните, принимают ли его без доказательства или выводят из других положений.

Называть теорему аксиомой, потому что её не доказывают в текущем упражнении. Возможно, её доказательство уже было дано раньше, поэтому сейчас теорему используют как известный результат. Перед классификацией спросите, откуда утверждение известно. Если оно было обосновано ранее, отсутствие нового доказательства не превращает его в аксиому.

Подменять доказательство рисунком. Чертёж помогает увидеть отношения между объектами, но обычно показывает один частный случай и может быть неточным. Поэтому ученик иногда принимает наглядность за обоснование. Проверьте себя: запишите, какие аксиомы и известные результаты подтверждают вывод для всех допустимых случаев.

Использовать в доказательстве ещё не обоснованное утверждение. Так можно случайно опереться на то, что требуется доказать, и получить круговое рассуждение. Ошибка возникает, когда не проверяют источник каждого шага. Для самопроверки подпишите у каждого шага основание: условие, аксиома или ранее доказанная теорема.

Связь с другими темами

Для рассуждений об аксиомах понадобятся знакомые геометрические объекты и отношения: точка, прямая, принадлежность точки прямой. Если неясно, что означает «точка лежит на прямой», будет трудно понять формулировки исходных положений. Поэтому сначала уточняют смысл таких слов, а затем используют их в доказательстве.

Аксиоматика служит основанием для изучения геометрических теорем и построения их доказательств. Когда известно, какие положения приняты исходно, становится проще проследить путь от условия задачи к заключению. Навык проверять основания каждого шага пригодится и при решении других геометрических задач.

Что запомнить

• Аксиомы принимают без доказательства.
• Теоремы требуют доказательства.
• Доказательство опирается на аксиомы и ранее обоснованные результаты.
• Рисунок помогает рассуждать, но сам по себе не является доказательством.
• Нельзя обосновывать утверждение через него же самого.
• Аксиоматика задаёт основания, на которых строится геометрия.