"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Числовая функция связывает допустимые значения аргумента x с числами y: каждому x соответствует ровно одно y. Такая связь помогает описывать зависимости между величинами и решать задачи, где результат меняется вместе с исходным значением. Функцию задают формулой, таблицей, графиком или словами. Чтобы правильно работать с ней, нужно различать область определения — допустимые аргументы — и множество значений, то есть результаты функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая функция — соответствие, при котором каждому x из некоторого множества ставится в соответствие ровно одно число y. Иначе говоря, для каждого допустимого входного значения есть единственный результат. Функцию часто обозначают f, а связь записывают как y = f(x); такое обозначение позволяет говорить и о правиле в целом, и о его результате.
Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента x, для которых функция задана. Аргументом называют независимое значение, которое подставляют в правило. Эта область показывает, с какими исходными данными можно работать и не получить выражение, не имеющее смысла.
Множество значений функции — множество чисел, которые функция принимает при всех x из области определения. Его не следует смешивать с областью определения: в первом случае перечисляют результаты y, во втором — допустимые входные значения x. Это понятие помогает понять, какие результаты вообще может давать заданная зависимость.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где x принадлежит области определения, а y = f(x). Каждая точка показывает одну пару аргумента и соответствующего ему значения. По графику можно увидеть связь между x и y и определить значение функции для подходящего аргумента.
Аргумент x выбирают из области определения, а затем по правилу функции находят соответствующее значение y. Результат обозначают f(x), то есть запись f(x) читается как «значение функции f при аргументе x». Например, если f(x) = 3x − 2, то при x = 4 получается f(4) = 3 · 4 − 2 = 10. Единственность результата — главное условие: одно и то же допустимое x не может давать два разных значения функции.
Область определения устанавливают до вычислений, потому что не каждое число можно подставить в любое правило. Иногда ограничения прямо заданы условием задачи, например измеряемая величина не может быть отрицательной. Иногда их диктует сама формула: на ноль делить нельзя, а квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Если не проверить эти условия заранее, можно включить в область недопустимые аргументы или получить бессмысленный результат.
Чтобы определить множество значений, выясняют, какие результаты получаются при всех аргументах из области определения. Для этого учитывают не только формулу, но и допустимые значения x: один и тот же закон на разных областях может давать разные множества результатов. Например, если y = x² и x принимает все действительные значения, y не бывает отрицательным. Значит, множество значений здесь — все y ≥ 0, хотя область определения состоит из всех действительных x.
Способы задания функции отличаются тем, как именно передана информация о зависимости. Формула задаёт правило вычисления, таблица перечисляет отдельные пары аргументов и значений, график показывает эти пары на координатной плоскости, а словесное описание объясняет правило словами. Поэтому по таблице удобно найти уже записанное значение, а формула позволяет вычислять значения для аргументов, которых в таблице нет. График помогает увидеть общую картину зависимости, а словесное задание полезно, когда правило легче описать обычным языком.
На графике абсцисса точки, то есть её координата по горизонтальной оси, задаёт аргумент x; ордината по вертикальной оси показывает значение y. Чтобы узнать f(a), находят точку графика с абсциссой a и считывают её ординату. Одной абсциссе не могут соответствовать две разные ординаты, иначе одному аргументу отвечали бы два значения. Поэтому вертикальная прямая, проходящая через точки графика, не должна пересекать его более чем в одной точке.
| Способ задания | Как представлена зависимость | Что можно узнать |
|---|---|---|
| Аналитический (формулой) | Правило вычисления записано выражением | Значение функции для допустимого аргумента |
| Табличный | Перечислены пары аргументов и значений | Значения для аргументов, приведённых в таблице |
| Графический | Пары значений представлены точками на координатной плоскости | Значения и общую картину зависимости |
| Словесный | Правило зависимости сформулировано словами | Как связаны аргумент и результат |
Выбирайте способ чтения в зависимости от вопроса: формула помогает выполнить вычисление, а таблица — быстро найти уже указанную пару. По графику оценивают значения и характер зависимости, а словесное описание сначала нужно перевести в понятное правило. В любом случае проверяйте, что рассматриваемый аргумент допустим.
Задача 1. Для функции f(x) = 3x − 2 найдите f(4) и укажите, принадлежит ли x = 4 области определения. Здесь задано правило линейного выражения без знаменателей, корней или других операций, ограничивающих подстановку. Значит, прежде чем вычислять, достаточно проверить, не запрещено ли число 4 условием.
Ответ: f(4) = 10; x = 4 принадлежит области определения.
Задача 2. Функция задана таблицей: при x = −1, 0, 2 значения y равны 3, 1, 5. Найдите f(0), выпишите область определения и множество значений. В таблице аргументам соответствуют пары (−1; 3), (0; 1), (2; 5). Чтобы не перепутать множества, отдельно выпишем первые и вторые координаты этих пар.
Ответ: f(0) = 1; область определения {−1, 0, 2}; множество значений {3, 1, 5}.
Задача 3. Функция задана формулой f(x) = √(x − 1). Найдите область определения и множество значений. Здесь аргумент находится под знаком квадратного корня, поэтому сначала определим, при каких x корень существует в действительных числах. После этого проверим, какие результаты может принимать сам квадратный корень.
Ответ: область определения — x ≥ 1; множество значений — y ≥ 0.
Область определения путают с множеством значений: например, записывают результаты вместо допустимых аргументов. Такая ошибка возникает, когда не разделяют входные данные x и выходные значения y. Проверка простая: область определения выписывают из возможных аргументов, а множество значений — из результатов функции.
Неверно считать, что формула всегда задана на всех действительных числах. Это предположение кажется естественным, если в формуле не указано отдельное условие, но ограничения могут возникнуть из знаменателя или корня. Для самопроверки проверьте, нет ли деления на ноль или отрицательного подкоренного выражения.
Записи f(x) и f(a) иногда считают равнозначными. На самом деле f(x) обозначает значение функции при произвольном аргументе x, а f(a) — конкретное значение при заданном аргументе a. Чтобы проверить смысл записи, подставьте вместо аргумента конкретное число и выполните вычисление.
Не всякую кривую можно назвать графиком функции: если вертикальная прямая пересекает её несколько раз, одному x соответствуют разные y. Ошибка возникает, когда смотрят на форму линии, не проверяя соответствие аргумента и значения. Проведите мысленно вертикальные прямые через график: пересечение более чем в одной точке означает, что это не график функции.
Для чтения графиков нужна координатная плоскость: ученик должен различать абсциссу и ординату точки. При работе с формулой требуется уметь подставлять числа в выражения и соблюдать порядок действий. Эти навыки помогают находить значения функции и сопоставлять формульную запись с таблицей или графиком.
Область определения и множество значений понадобятся при дальнейшем изучении свойств функций и построении их графиков. Знание области определения помогает не рассматривать недопустимые аргументы, а множество значений показывает, какие результаты возможны. Поэтому эти понятия служат основой для анализа зависимости, а не только для вычислений по формуле.
Чем функция отличается от формулы?
Функция — это зависимость, которая каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение. Формула — один из способов описать эту зависимость, например правилом вычисления f(x) = 3x − 2. Функцию также можно задать таблицей, графиком или словами.
Может ли у функции быть несколько значений при одном аргументе?
Нет, одному допустимому значению аргумента соответствует только одно значение функции. Если для одного x получаются два разных y, такая зависимость не является функцией. На графике это означает, что вертикальная прямая не должна пересекать его более чем в одной точке.
Как найти область определения функции, заданной формулой?
Нужно выяснить, при каких значениях x все действия в формуле имеют смысл. Например, знаменатель не должен равняться нулю, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. Затем записывают все значения, удовлетворяющие ограничениям.
Чем область определения отличается от множества значений?
Область определения состоит из допустимых значений аргумента x, которые подставляют в функцию. Множество значений состоит из результатов y, получаемых при этих аргументах. Например, для f(x) = √(x − 1) область определения — x ≥ 1, а множество значений — y ≥ 0.
Как по графику проверить, является ли он графиком функции?
Проведите мысленно вертикальные прямые через точки плоскости. Если какая-либо такая прямая пересекает изображённую линию в двух или более точках, одному x соответствуют разные y, и это не график функции. Если пересечений больше чем в одной точке нет, график задаёт функцию.
§ 1. Определение числовой функции и способы ее задания
