§ 2. Свойства функций

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента, при которых формула функции имеет смысл; её обозначают D(f). Например, если при некотором x знаменатель обращается в ноль, это значение нельзя включить в D(f). Знание области определения помогает не подставлять недопустимые значения и правильно читать график.

Область значений функции — все значения, которые она принимает при допустимых значениях аргумента; её обозначают E(f). Аргумент отвечает на вопрос, какие x можно использовать, а область значений показывает, какие y получаются. Это различие нужно, например, чтобы понять, может ли уравнение f(x) = c иметь решение для заданного числа c.

Нуль функции — значение аргумента x, при котором значение функции равно нулю, то есть f(x) = 0. Чтобы найти нули, решают это уравнение и проверяют допустимость полученных корней. Нули показывают, где график пересекает ось Ox или касается её.

Функция называется чётной, если f(−x) = f(x), и нечётной, если f(−x) = −f(x). Каждое равенство должно выполняться для всех x из области определения; кроме того, область определения должна содержать −x вместе с x. Проверка помогает выявить симметрию функции и её графика.

Как это устроено

Область определения устанавливают по формуле, потому что не всякое действие можно выполнить с любым числом. В дроби знаменатель должен быть отличен от нуля, иначе деление не определено. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а для логарифма его аргумент должен быть положительным. Если ограничений несколько, их выполняют одновременно и находят все x, подходящие каждому условию.

Область значений можно находить по формуле или по графику: нужно выяснить, какие значения y действительно получаются при допустимых x. По графику считывают все высоты точек, а по формуле используют её устройство и ограничения на аргумент. Например, квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому функция f(x) = x² не принимает отрицательных значений. При чтении графика важно учитывать, входит ли крайняя точка в него.

Нули функции соответствуют точкам пересечения графика с осью Ox, поскольку у всех точек этой оси ордината равна нулю. Чтобы определить промежутки знакопостоянства, смотрят, где график расположен выше оси: там f(x) > 0, а ниже — f(x) < 0. Нули делят числовую прямую на промежутки, на каждом из которых знак обычно постоянен. Для формулы знак можно проверить, подставив пробное значение из каждого такого промежутка.

Возрастание и убывание описывают, как меняется функция при движении слева направо по оси аргументов. На промежутке возрастания большему x соответствует большее значение функции, а на промежутке убывания — меньшее. Эти свойства называют монотонностью. Их указывают отдельно для тех промежутков, где поведение функции не меняется: наличие вершины или другого поворота может разделить область определения.

Чётность связана с симметрией: при замене x на −x значение чётной функции не меняется, а значение нечётной меняет знак. Поэтому график чётной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечётной — относительно начала координат. Периодичность означает, что значения повторяются через один и тот же положительный шаг T: f(x + T) = f(x), где T > 0. Такое равенство должно выполняться для всех x, для которых определены оба значения функции.

Основные свойства функции

Таблица помогает составить план исследования функции: сначала проверьте допустимые x, затем выясните возможные y и нули. После этого изучите знак и изменение функции на промежутках, а также проверьте симметрию и повторяемость. График позволяет увидеть свойства, но найденные по нему значения полезно сверять с формулой.

Разбор задач

Задача 1. Для f(x) = 1/(x − 2) найдите область определения и нули функции. Сначала проверим, при каком x формула не имеет смысла: деление на ноль запрещено. Затем выясним, может ли значение дроби стать равным нулю.

1. Знаменатель x − 2 должен быть отличен от нуля. Из x − 2 ≠ 0 получаем x ≠ 2, поэтому D(f) = все действительные числа, кроме 2.
2. Для поиска нулей решаем 1/(x − 2) = 0. Дробь с числителем 1 не может равняться нулю, так как нулю равна только дробь с нулевым числителем.

Ответ: D(f) = ℝ \ {2}; нулей нет. Важно не включать x = 2 в область определения, даже если это значение не является решением уравнения на нули. Условие допустимости проверяют отдельно от поиска нулей.

Задача 2. Для f(x) = x² − 4 найдите нули и промежутки знакопостоянства. Нули разделят числовую прямую на части, внутри которых знак выражения не меняется. Поэтому сначала разложим многочлен на множители, а затем проверим знак на каждом промежутке.

1. Решаем x² − 4 = 0. Разность квадратов раскладывается так: (x − 2)(x + 2) = 0, значит, нули функции — x = −2 и x = 2.
2. Отмечаем −2 и 2 на числовой прямой. При x < −2 оба множителя отрицательны, их произведение положительно; при −2 < x < 2 множители разных знаков, поэтому произведение отрицательно.
3. При x > 2 оба множителя положительны, значит, функция положительна. В точках −2 и 2 значение функции равно нулю, поэтому их не включаем в промежутки строгого положительного и отрицательного знака.

Ответ: нули −2 и 2; f(x) > 0 при x < −2 и x > 2; f(x) < 0 при −2 < x < 2. Проверку знаков можно сделать подстановкой пробного числа из каждого промежутка. Например, между корнями подходит x = 0, и f(0) = −4.

Задача 3. Для f(x) = (x − 1)² − 3 определите область значений, промежутки убывания и возрастания, а также проверьте чётность. Это квадратичная функция, график которой является параболой с ветвями, направленными вверх. Сначала найдём её вершину, а затем отдельно проверим равенство для чётности.

1. Квадрат (x − 1)² неотрицателен и достигает нуля при x = 1. Поэтому наименьшее значение функции равно −3, и E(f) = [−3; +∞).
2. Вершина параболы имеет абсциссу 1. Слева от вершины, при x ≤ 1, значения функции убывают при увеличении x; справа, при x ≥ 1, они возрастают.
3. Подставляем −x вместо x: f(−x) = (−x − 1)² − 3 = (x + 1)² − 3. Это выражение в общем случае не равно ни f(x) = (x − 1)² − 3, ни −f(x), значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: E(f) = [−3; +∞); функция убывает при x ≤ 1 и возрастает при x ≥ 1; она не чётная и не нечётная. Вершина задаёт место перехода от убывания к возрастанию. Проверка подстановкой нужна, потому что смещение графика может нарушить симметрию.

Типичные ошибки

В область определения иногда включают значения, при которых знаменатель равен нулю. Так происходит, если проверить только общий вид формулы и забыть, что деление на ноль не определено. Для проверки приравняйте каждый знаменатель к нулю и исключите найденные значения из D(f).

Нуль функции путают с нулём аргумента, то есть принимают x = 0 за ответ без проверки. На самом деле нулём функции называют такое значение x, для которого f(x) = 0, и оно может быть любым числом. Подставьте предполагаемый нуль в формулу: результат должен оказаться равен нулю.

Функцию объявляют чётной или нечётной после проверки равенства для нескольких чисел. Несколько совпадений не доказывают, что условие верно для всех x из области определения. Подставьте −x в формулу и сравните выражения символически, одновременно убедившись, что x и −x допустимы.

Функцию называют возрастающей или убывающей на всей области определения, не проверив отдельные промежутки. Это приводит к ошибке, если график меняет направление, например в вершине параболы. Найдите точки, где поведение может измениться, и сформулируйте монотонность отдельно на каждом промежутке.

Связь с другими темами

Для изучения свойств функций нужно уметь читать графики, подставлять значения в формулу и решать простые уравнения и неравенства. Эти навыки позволяют находить допустимые аргументы, нули и промежутки знаков, а также проверять результат. Если график или формула прочитаны неверно, выводы о свойствах тоже окажутся неверными.

Свойства функций используют при построении и преобразовании графиков: например, симметрия и промежутки монотонности помогают понять их форму. Они нужны при решении уравнений и неравенств, потому что показывают, где функция принимает заданные значения и какого знака она бывает. Позже исследование поведения функции станет основой для изучения производной.

Что запомнить

• Область определения — допустимые значения аргумента.
• Область значений — значения, которые принимает функция.
• Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
• Знак функции на графике определяют относительно оси Ox.
• Чётность проверяют сравнением f(−x) с f(x) и −f(x).
• Промежутки возрастания и убывания указывают отдельно.
• Период функции T > 0 удовлетворяет равенству f(x + T) = f(x).